Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 So 09.09.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | In den ebenen Kraftfeldern v,w : [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] mit
v(x,y) = [mm] \vektor{-x+y \\ x+y} [/mm] und w(x,y) = [mm] \vektor{x \\ xy}
[/mm]
wird ein Teilchen (der Masse 1) von A = (0,0) nach B = (1,1) bewegt, und zwar entlang eines entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufenden Kreises mit Mittelpunkt (1,0).
Berechnen Sie jeweils die Energie [mm] \integral_{c}{vds} [/mm] bzw. [mm] \integral_{c}{wds}, [/mm] die dafür benötigt wird. |
Hallo,
Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher ob meine Herangehensweise richtig ist.
Ich habe zuerst den Kurvenverlauf in Parameterdarstellung (war in der Aufgabe davon gefordert): [mm] \overrightarrow{r}(t) [/mm] = [mm] \vektor{1-cost \\ -sint} [/mm] mit [mm] 0\le t\le \bruch{3}{2}\pi.
[/mm]
[mm] d\overrightarrow{r}(t) [/mm] = [mm] \vektor{sint \\ -cost}
[/mm]
[mm] \integral_{c}{\vektor{-1+cost-sint \\ 1-cost-sint} \vektor{sint \\ -cost} dt} [/mm] = [mm] \integral_{c}{(-sint+costsint-sin^2t)+(-cost+cos^2t+sintcost) dt}.
[/mm]
Leider komme ich hier schon nicht weiter, weil ich das Integral nicht berechnen kann...
mgf Robse
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Hallo Robse,
> In den ebenen Kraftfeldern v,w : [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] mit
>
> v(x,y) = [mm]\vektor{-x+y \\ x+y}[/mm] und w(x,y) = [mm]\vektor{x \\ xy}[/mm]
>
> wird ein Teilchen (der Masse 1) von A = (0,0) nach B =
> (1,1) bewegt, und zwar entlang eines entgegen dem
> Uhrzeigersinn durchlaufenden Kreises mit Mittelpunkt
> (1,0).
> Berechnen Sie jeweils die Energie [mm]\integral_{c}{vds}[/mm] bzw.
> [mm]\integral_{c}{wds},[/mm] die dafür benötigt wird.
> Hallo,
>
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher ob meine
> Herangehensweise richtig ist.
>
> Ich habe zuerst den Kurvenverlauf in Parameterdarstellung
> (war in der Aufgabe davon gefordert): [mm]\overrightarrow{r}(t)[/mm]
> = [mm]\vektor{1-cost \\ -sint}[/mm] mit [mm]0\le t\le \bruch{3}{2}\pi.[/mm]
>
> [mm]d\overrightarrow{r}(t)[/mm] = [mm]\vektor{sint \\ -cost}[/mm]
>
> [mm]\integral_{c}{\vektor{-1+cost-sint \\ 1-cost-sint} \vektor{sint \\ -cost} dt}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{c}{(-sint+costsint-sin^2t)+(-cost+cos^2t+sintcost) dt}.[/mm]
>
> Leider komme ich hier schon nicht weiter, weil ich das
> Integral nicht berechnen kann...
>
Verwende hier die Additionstheoreme
[mm]\cos^{2}\left(t\right)-\sin^{2}\left(t\right)=\cos\left(2t\right)[/mm]
[mm]2*\sin\left(t\right)*\cos\left(t\right)=\sin\left(2t\right)[/mm]
Dann kannst Du das Integral berechnen.
Oder integriere die entsprechenden Terme partiell.
>
> mgf Robse
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 09.09.2012 | | Autor: | Robse |
Hallo MathePower,
Danke für deine (wiederholte) schnelle und gute Antwort.
Meine Rechnung sieht jetzt folgendermaßen aus:
[mm] \integral_{c}{-sint-cost+sin(2t)+cos(2t) dt} [/mm] = [mm] [cost-sint-\bruch{1}{2}cos(2t)+\bruch{1}{2}sin(2t)]_{0}^{2\pi} [/mm] = 0
Bei dem Kraftfeld w:
[mm] \integral_{c}{sin(t)-cos(t)sin(t)+cos(t)sin(t)-cos^2(t)sin(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{c}{sin(t)(1-cos^2(t)) dt}
[/mm]
Da stecke ich jetzt auch wieder ein bisschen fest. Ich habe als Additionstheorem nur [mm] cos^2(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2t) [/mm] gefunden.
Wenn ich das jetzt versuche partiell zu integrieren, bekomme ich das einfach nicht hin.....
Mfg Robse
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Hallo Robse,
> Hallo MathePower,
>
> Danke für deine (wiederholte) schnelle und gute Antwort.
> Meine Rechnung sieht jetzt folgendermaßen aus:
>
> [mm]\integral_{c}{-sint-cost+sin(2t)+cos(2t) dt}[/mm] =
> [mm][cost-sint-\bruch{1}{2}cos(2t)+\bruch{1}{2}sin(2t)]_{0}^{2\pi}[/mm]
> = 0
>
Hier musst Du doch zwischen 0 und [mm]\bruch{3\pi}{2}[/mm] integrieren.
>
> Bei dem Kraftfeld w:
>
> [mm]\integral_{c}{sin(t)-cos(t)sin(t)+cos(t)sin(t)-cos^2(t)sin(t) dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{c}{sin(t)(1-cos^2(t)) dt}[/mm]
>
> Da stecke ich jetzt auch wieder ein bisschen fest. Ich habe
> als Additionstheorem nur [mm]cos^2(t)[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}cos(2t)[/mm] gefunden.
>
Hier lautet das Zauberwort "Substitution".
> Wenn ich das jetzt versuche partiell zu integrieren,
> bekomme ich das einfach nicht hin.....
>
>
> Mfg Robse
Gruss
MathePower
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