Kurvenintegral < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Mo 25.03.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich habe hier das Kurvenintegral:
$ [mm] I=\integral_{0}^{1}{(x^2-y^2)dx -2xy dy} [/mm] $
entlang der Kurve
[mm] $y=2x^2$
[/mm]
$x$ soll gleich $t$ sein also ist [mm] $y=2t^2$
[/mm]
Als Kurvenintegral kam dann heraus : [mm] $-\frac{11}{3}$
[/mm]
Aber wie kam man darauf?
Ich hoffe mir kann das jemand mal etwas detaillierter erklären.
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Hallo!
Da erkläre ich besser mal schrittweise, wie das geht:
Du hast vermutlich ein Feld [mm] \vektor{x^2-y^2 \\ -2xy}, [/mm] das du integrieren willst. Also steht da erstmal ein
[mm] \int\vektor{x^2-y^2 \\ -2xy}*\vektor{dx\\dy}
[/mm]
Integriert werden soll nun über einen Weg y=2x integrieren, und zwar von [mm] \vektor{0\\0} [/mm] bis [mm] \vektor{1\\2} [/mm] (Das entnehme ich mal deinen Formeln)
gesucht ist nun eine Parametrisierung dieses weges, die nur von einem Parameter t abhängt. Das wäre z.B.
[mm] \vektor{x\\y}=\vektor{1\\2}*t [/mm] mit [mm] t\in\[0;1\] [/mm]
oder einfach
$x(t)=t_$
$y(t)=2t_$
Das Feld wird damit zu
[mm] \vektor{t^2-(2t)^2 \\ -2t(2t)}
[/mm]
Jetzt zu dem [mm] d\vec{x}=\vektor{dx\\dy} [/mm] :
[mm] \frac{d\vec{x}}{dt}=\frac{d}{dt}\vektor{x(t)\\y(t)}=\frac{d}{dt}\left{\vektor{1\\2}*t\right}=\vektor{1\\2}
[/mm]
Und wenn man das mit dt "durchmultipliziert":
[mm] d\vec{x}=\vektor{1\\2}*dt
[/mm]
Dadurch berücksichtigst du, daß ein Stück der Kurve , das durch ein Intervall dt gegeben ist, nicht eine Länge von dt hat, sondern eine Länge von [mm] \left|\vektor{1\\2}\right|*dt
[/mm]
Nun kannst du das Integral zusammensetzen:
[mm] I=\int_0^1\vektor{t^2-(2t)^2 \\ -2t(2t)}\vektor{1\\2}*dt
[/mm]
Rechne nun das Skalarprodukt aus, und führe dann die Integration durch. Kommst du auf das Ergebnis?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mo 25.03.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo!
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> Da erkläre ich besser mal schrittweise, wie das geht:
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> Du hast vermutlich ein Feld [mm]\vektor{x^2-y^2 \\ -2xy},[/mm] das
> du integrieren willst. Also steht da erstmal ein
>
> [mm]\int\vektor{x^2-y^2 \\ -2xy}*\vektor{dx\\dy}[/mm]
>
> Integriert werden soll nun über einen Weg y=2x
> integrieren, und zwar von [mm]\vektor{0\\0}[/mm] bis [mm]\vektor{1\\2}[/mm]
> (Das entnehme ich mal deinen Formeln)
>
> gesucht ist nun eine Parametrisierung dieses weges, die nur
> von einem Parameter t abhängt. Das wäre z.B.
>
> [mm]\vektor{x\\y}=\vektor{1\\2}*t[/mm] mit [mm]t\in\[0;1\][/mm]
>
> oder einfach
>
> [mm]x(t)=t_[/mm]
> [mm]y(t)=2t_[/mm]
>
>
> Das Feld wird damit zu
>
> [mm]\vektor{t^2-(2t)^2 \\ -2t(2t)}[/mm]
>
>
> Jetzt zu dem [mm]d\vec{x}=\vektor{dx\\dy}[/mm] :
>
> [mm]\frac{d\vec{x}}{dt}=\frac{d}{dt}\vektor{x(t)\\y(t)}=\frac{d}{dt}\left{\vektor{1\\2}*t\right}=\vektor{1\\2}[/mm]
>
> Und wenn man das mit dt "durchmultipliziert":
>
> [mm]d\vec{x}=\vektor{1\\2}*dt[/mm]
>
> Dadurch berücksichtigst du, daß ein Stück der Kurve ,
> das durch ein Intervall dt gegeben ist, nicht eine Länge
> von dt hat, sondern eine Länge von
> [mm]\left|\vektor{1\\2}\right|*dt[/mm]
>
> Nun kannst du das Integral zusammensetzen:
>
> [mm]I=\int_0^1\vektor{t^2-(2t)^2 \\ -2t(2t)}\vektor{1\\2}*dt[/mm]
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>
> Rechne nun das Skalarprodukt aus, und führe dann die
> Integration durch. Kommst du auf das Ergebnis?
>
Danke erst einmal für die Hilfe, allerdings hast du dich vertan. Denn ich hatte geschrieben, dass
[mm] $y=2x^2$
[/mm]
Demnach würde sich das ganze zu:
$ [mm] I=\int_0^1\vektor{t^2-(2t)^2 \\ -2t(2t^2)}\vektor{1\\4t}\cdot{}dt [/mm] $ ändern oder?
So komme ich dann auch auf das richtige Ergebnis :)
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mo 25.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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