Kurvenintegrale < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Do 04.08.2005 | | Autor: | HomerSi |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also,
ich hab mir vor ein paar Tagen ein Buch über Vektoeanalysis in der Bibliothek ausgeliehen, leider versteh ich etwas nicht so ganz. Dort wird nicht ganz so gut erklärt was Kurvenintegrale sind, und was der Kreis im Integralzeichen bedeutet. Dort wird zwar erwähnt wie man Kurvenintegrale (ohne Kreis im Zeichen) berechnet, aber nicht gesagt was man damit berechnet. Dort steht wie man eine Funktion längs einer anderen berechnet, was bedeutet das? Und wofür steht dieser Kreis im Integralzeichen?
mfg
HomerSi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Do 04.08.2005 | | Autor: | Jacko |
Hallo HomerSi,
Nun, wenn Du ja schon die Formel zur Berechunug gefunden hast, dann hast Du das Wichtigste ja schon inder Hand. Du musts Dir das so vorstellen: Du willst Integrale in Räumen berechenen, die nicht mehr eindimensonial sind, etwa [mm] \IC. [/mm] In [mm] \IR [/mm] integriert man längs Intervallen, also eindimensionalen Objekten. Im Mehrdimensionalen brauchst Du also was mehrdimensionales. Dazu hat man sich die Kurven überlegt. Damit man die aber einfacher beschreiben kann, drückt man ein Kurve ähnlich wie einen Graphen wieder als Funktion aus. Mehr steckt da nicht dahinter. Die Schreibweise mit dem Kreis im Integralzeichen sieht man eigentlich nur noch in älteren Büchern und ist wohl zur Unterscheidung zwischen "normalen" und Kurvenintegralen gedacht. Ne tiefere Bedeutung hat der Kreis aber nicht, glaub ich zumindest.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Sa 06.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo HomerSi!
Es sei
[mm] $\gamma:= \pmat{\gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_p} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR^p$
[/mm]
ein rektifizierbarer Weg in [mm] $\IR^p$ [/mm] (was das ist, erkläre ich unten) und
$f:= [mm] \pmat{f_1 \\ \vdots \\ f_p} [/mm] : [mm] \Gamma \to \IR^p$
[/mm]
eine stetige [mm] $\IR^p$-wertige [/mm] Funktion auf dem zu [mm] $\gamma$ [/mm] gehörenden Bogen [mm] $\Gamma$. [/mm] Es sei [mm] $(Z^n)_{n \in \IN} [/mm] = [mm] (t_0^n,t_1^n,\ldots, t_n^n)_{n\in \IN}$ [/mm] eine Folge von Zerlegungen
[mm] $a=:t_0^n [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_n^n:=b$
[/mm]
mit einer Folge [mm] $(\tau^n)_{n \in \IN}$ [/mm] von zugehörigen Zwischenvektoren, so dass [mm] $t_i^n \le \tau_{i+1}^n \le t_{i+1}^n$. [/mm] Es gelte für [mm] $\delta^n:= \max\limits_{i=1,\ldots,n} (t_{i}^n [/mm] - [mm] t_{i-1}^n)$:
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \delta^n=0$.
[/mm]
(Sauberer muss man hier mit einer Konvergenz von Netzen argumentieren, aber da du (als Schüler!) das sicherlich nicht kennst, definiere ich es (wissentlich!) unsauber, aber intuitiver.)
Dann konvergiert
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n f(\gamma(\tau_k^n)) \cdot (\gamma(t_k^n) [/mm] - [mm] \gamma(t_{k-1}^n))$
[/mm]
für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Der Grenzwert wird mit
[mm] $\int\limits_{\gamma} f(x)\, [/mm] dx$ (oder kurz: [mm] $\int\limits_{\gamma} [/mm] f [mm] \cdot [/mm] dx$)
bezeichnet.
Manchmal wird das Integral mit einem Kreis versehen, zur Verdeutlichung, dass es sich um ein (wie oben) definiertes Kurvenintegral handelt, insbesondere dann, wenn die Kurve einen Kreis parametrisiert. Ich halte das aber für überflüssig und eher verwirrend. 
Jetzt noch zur Rektifizierbarkeit:
Ein Weg [mm] $\gamma:[a,b] \to \IR^p$ [/mm] heißt rektifizierbar, wenn es eine Konstante $M$ gibt, so das für alle Zerlegungen
$Z : [mm] a=:t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < [mm] \ldots [/mm] < [mm] t_n:=b$
[/mm]
des Intervalls $[a,b]$ stets
[mm] $L(\gamma,Z):= \sum\limits_{k=1}^n |\gamma(t_k) [/mm] - [mm] \gamma(t_{k-1})| \le [/mm] M$
bleibt. (In diesem Fall wird die reelle Zahl
[mm] $L(\gamma):= \sup\limits_Z L(\gamma,Z)$
[/mm]
die Länge von [mm] $\gamma$ [/mm] genannt.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:28 Sa 06.08.2005 | | Autor: | HomerSi |
Hallo,
vielen Dank für die Antworten, ich habe alles Verstanden.
mfg
HomerSi
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