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| Aufgabe 1 | 4.
A curve in the xy plane has the property, that its curvature at any point (x,y) is always equal to sin(x). If the curve has slope zero at the point (0,0) on it, what is its equation?
solution: [mm] $y(x)=ln\left(\bruch{1}{cos(x)} \right)$
[/mm]
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| Aufgabe 2 | 5.
Work Exercise 4 if sin(x) is replaced by 2x.
solution: [mm] $y(x)=\integral_{0}^{x} \bruch{u^2}{\wurzel{1-u^4}}\;du$ [/mm] |
Hallo,
Kann es sein, dass ein Fehler in der Aufgabe 4 ist? Wenn ich die Lösung einsetze, dann kommt als Ergebnis heraus cos(x) und nicht sin(x).
[mm] $y(x)=ln\left(\bruch{1}{cos(x)} \right)$
[/mm]
$y'=tan(x)$
[mm] $y''=1+tan^2(x)$
[/mm]
[mm] $\bruch{y''}{\wurzel{[1+(y')^2]}^3}=cos(x)$
[/mm]
5. Zu dieser Aufgabe habe ich keine Idee, wie man auf die Lösung kommen könnte. Die Lösung ist hier richtig.
Meine bisherigen Versuche:
[mm] $\bruch{y''}{\wurzel{[1+(y')^2]}^3}=2x$
[/mm]
[mm] $\integral-\bruch{1}{2}[1+(y')^2]^{-3/2}*2y'y''=-\integral [/mm] 2xy'$
[mm] $[1+(y')^2]^{-1/2}=2\left(-xy+\integral y\;dx\right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{dx}=\bruch{1-4\left(-xy+\integral y\;dx\right)}{4\left(-xy+\integral y\;dx\right)}$
[/mm]
Trennung der Variablen geht hier wohl nicht.
Vielen Dank für einen Hinweis.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> 4.
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> A curve in the xy plane has the property, that its
> curvature at any point (x,y) is always equal to sin(x). If
> the curve has slope zero at the point (0,0) on it, what is
> its equation?
>
>
> solution: [mm]y(x)=ln\left(\bruch{1}{cos(x)} \right)[/mm]
>
> Hallo,
>
> Kann es sein, dass ein Fehler in der Aufgabe 4 ist? Wenn
> ich die Lösung einsetze, dann kommt als Ergebnis heraus
> cos(x) und nicht sin(x).
>
> [mm]y(x)=ln\left(\bruch{1}{cos(x)} \right)[/mm]
>
> [mm]y'=tan(x)[/mm]
>
> [mm]y''=1+tan^2(x)[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{y''}{\wurzel{[1+(y')^2]}^3}=cos(x)[/mm]
>
Ja, hier liegt ein Fehler in der Aufgabe vor.
Korrekterweise muß es heißen:
[mm]y(x)=ln\left(\bruch{1}{\sin\left(x\right)} \right)[/mm]
> Vielen Dank für einen Hinweis.
>
> LG, Martinius
Gruß
MathePower
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Hallo Mathe-Power,
Vielen Dank für deine Antwort.
Die Aufgabenstellung heißt ja:
[mm] $\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=sin(x)$
[/mm]
Meine Vermutung war, dass der Autor sich hier auf der rechten Seite in sin(x) geirrt hat und die Aufgabe daher lauten müsste:
[mm] $\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=cos(x)$
[/mm]
Dann wäre auch die angegebene Lösung richtig.
Wenn ich einmal deinen Vorschlag in die Krümmung einsetze:
[mm] $y=ln\left(\bruch{1}{sin(x)} \right)$
[/mm]
$y'=-tan(x)$
[mm] $y''=-(tan^2(x)+1)$
[/mm]
[mm] $\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=\bruch{-(1+tan^2(x))}{\left(\wurzel{1+tan^2(x)}\right)^3}=-cos(x)$
[/mm]
Dann kommt da auch kein sin(x) heraus.
Fall noch jemand eine Idee zu Aufgabe 5 hätte...
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
> Hallo Mathe-Power,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> Die Aufgabenstellung heißt ja:
>
> [mm]\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=sin(x)[/mm]
>
> Meine Vermutung war, dass der Autor sich hier auf der
> rechten Seite in sin(x) geirrt hat und die Aufgabe daher
> lauten müsste:
>
> [mm]\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=cos(x)[/mm]
>
> Dann wäre auch die angegebene Lösung richtig.
>
>
> Wenn ich einmal deinen Vorschlag in die Krümmung einsetze:
>
> [mm]y=ln\left(\bruch{1}{sin(x)} \right)[/mm]
>
> [mm]y'=-tan(x)[/mm]
>
> [mm]y''=-(tan^2(x)+1)[/mm]
>
> [mm]\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=\bruch{-(1+tan^2(x))}{\left(\wurzel{1+tan^2(x)}\right)^3}=-cos(x)[/mm]
>
> Dann kommt da auch kein sin(x) heraus.
>
>
Die Ableitung von
[mm]y=ln\left(\bruch{1}{sin(x)} \right)=-ln\left( sin(x) \right)[/mm]
ist
[mm]y'=-\bruch{1}{\sin\left(x\right)}*\left( \ \sin\left(x\right) \ \right)' = -\bruch{1}{\sin\left(x\right)}*\cos\left(x\right) = -\cot\left(x\right) [/mm]
Nochmals abgeleitet ergibt:
[mm]y''=1+\cot^{2}\left(x\right)=\bruch{1}{\sin^{2}\left(x\right)}[/mm]
Eingesetzt ergibt
[mm]\bruch{y''}{\left(\wurzel{1+(y')^2}\right)^3}=\bruch{1+\cot^{2}\left(x\right)}{\left(\wurzel{1+\cot^{2}\left(x\right)}\right)^3}=\bruch{1}{\wurzel{1+\cot^{2}\left(x\right)}}=\vmat{\sin\left(x\right)}[/mm]
> Fall noch jemand eine Idee zu Aufgabe 5 hätte...
>
> LG, Martinius
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
oh, wie peinlich! Du hast volkommen recht; entschuldige.
Nochmals Dank.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mo 16.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 5
setze y'=v integriere direkt rechts und links
loese nach v auf und integriere nochmal.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Di 17.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
Dank auch Dir! Jetzt bin auf das Ergbnis gekommen.
LG, Martinius
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