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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Di 20.03.2007 | | Autor: | mase1 |
| Aufgabe | Man berechne die Länge L(K) des Kurvenstücks K mit:
K: x(t)=3t³-ln(t), [mm] y(t)=4t\wurzel{t}; [/mm] 1 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 |
Ich habe versucht die Länge wie folgt zu berechnen:
L(C)= [mm] \integral_{a}^{b}{|x'(t)+y'(t)| dt}
[/mm]
[mm] x'=9t²-\bruch{1}{t}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{6t}{\wurzel{t}}
[/mm]
[mm] |x'+y'|=\wurzel{81t^{4}+18t+\bruch{1}{t²}}= 9t²+\bruch{1}{t}+\wurzel{18t}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{2}{9t²+\bruch{1}{t}+\wurzel{18t}dt}= [3t³+lnt+\bruch{2}{3}\wurzel{18t}]=26+ln(2)
[/mm]
Als ergebnis soll alldergings 21+ln(2) rauskommen. Wo ist mein Fehler? oder hab ich die Aufgabe vielleicht total falsch gelöst?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo mase1,
meines Erachtens ist schon die Formel falsch, ich kenne zur Berechnung der Bogenlänge nämlich nur die Formel
[mm] \int_{a}^{b} \sqrt{|x'(t)|^2+|y'(t)|^2} [/mm].
Probiere diese doch einmal.
Viele Grüße,
Manuela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 20.03.2007 | | Autor: | mase1 |
ich komm da irgendwie auf das gleiche.... ich glaub ich hab auch mit
[mm]\int_{a}^{b} \sqrt{|x'(t)|^2+|y'(t)|^2} [/mm] gerechnet...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 20.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
[mm] \bruch{d}{dt}\ 4t\wurzel{t}=6*\wurzel{t}
[/mm]
da [mm] t*\wurzel{t}=\wurzel{t^3}=t^{\bruch{3}{2}} [/mm] ist...
könnte das dein Fehler gewesen sein? 
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 20.03.2007 | | Autor: | mase1 |
nee, also ich komm da immernoch auf:
[mm] \integral_{1}^{2}{\wurzel{81t^{4}+\bruch{1}{t²}+18t}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Di 20.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
nun sehe ich es, da war noch was
das hier ist auch verkehrt gewesen:
[mm] >\wurzel{81t^{4}+\bruch{1}{t²}+18t}\not=9t^2+\bruch{1}{t}+\wurzel{18t}
[/mm]
allerdings habe ich grad keinen Ansatz für dieses Integral hier:
[mm] \integral_1^2{\wurzel{81t^{4}+\bruch{1}{t²}+18t}\ dt}
[/mm]
lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Di 20.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
vielleicht klappt das mit "gleichnamig" machen und dann der Substituion [mm] x^3=z
[/mm]
oder sowas ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
lg
Herby
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:53 Di 20.03.2007 | | Autor: | Ibrahim |
hallo zusammen:
[mm] |9*t²-\bruch{1}{t}+6*\wurzel{t}|=\wurzel{(9*t²-\bruch{1}{t}+6*\wurzel{t})²}=\wurzel{81x^4+104*t^\bruch{5}{2}+18*t-12*t^\bruch{-1}{2}+\bruch{1}{t²}}
[/mm]
Hier hast du dein fehler gemacht
Ich hoffe, daß ich dir geholfen habe.
Ibrahim
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Hallo Ibrahim,
aber darum ging es doch gar nicht! Es sollte für die Formel
[mm] \sqrt{|x'(t)|^2 + |y'(t)|^2} [/mm]
berechnet werden, und nicht |x'(t) + y'(t)|.
Ich weiß jetzt, wie du das Integral weiterhin berechnen kannst - du kannst es einfach über die binomische Formel "zurück" umformen:
Wir waren an der Stelle
[mm] \int_{1}^{2} \sqrt{81t^4+18t+\frac{1}{t^2}} dt [/mm]
und daraus kannst du machen
[mm] \int_{1}^{2} \sqrt{(9t^2+\frac{1}{t})^2} dt [/mm].
Ich hoffe, das hilft dir jetzt weiter, um endgültig das Integral berechnen zu können.
Viele Grüße,
Manuela
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 17:13 Di 20.03.2007 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Ich weiß jetzt, wie du das Integral weiterhin berechnen
> kannst - du kannst es einfach über die binomische Formel
> "zurück" umformen:
> Wir waren an der Stelle
>
> [mm]\int_{1}^{2} \sqrt{81t^4+18t+\frac{1}{t^2}} dt[/mm]
>
> und daraus kannst du machen
>
> [mm]\int_{1}^{2} \sqrt{(9t^2+\frac{1}{t})^2} dt [/mm].
>
stimmt auffallend ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
lg
Herby
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