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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] L(\gamma\mid[0, \pi/2] [/mm] für die Kurve [mm] \gamma:[0,2\pi]\rightarrow\IR, t\rightarrow ((cost)^3, (sint)^3). [/mm] |
Ich bin mir sicher, dass sich bei mir der Fehlerteufel eingeschlichen hat. Ich habe für die Länge Null rausgekriegt und das ist offensichtlich falsch. Das Bild zu der Lösung findet ihr übrigens hier: https://matheraum.de/read?i=560816. Hier meine Lösung:
Um die Länge der Kurve zu berechnen wende ich den Satz 9.6 [mm] (f:[a,b]\rightarrow\IR^n [/mm] stetig differenzierbare Kurve => f ist rektifizierbar & L= [mm] \int_{a}^{b} \| [/mm] f'(t) [mm] \| [/mm] dt) an. Hierfür muss ich zeigen, dass die Kurve stetig differenzierbar ist. Dies bedeutet die Ableitung von [mm] t\rightarrow[(cost)^3, (sint)^3] [/mm] muss stetig sein.
[mm] t'\rightarrow[-3(cost)^2 [/mm] sint, [mm] 3(sint)^2 [/mm] cost]
Die t' Funktion lässt sich als Verkettung von stetigen Funktionen (Sinus, Kosinus und [mm] t^2) [/mm] darstellen und ist somit ebenfalls stetig.
aus Satz 9.6 =>
[mm]
\| t' \| = \int_{0}^\(\tfrac {\pi} {2}) [/mm] [mm] \sqrt{(-3(cost)^2 sint)^2 + (3(sint)^2 cost)^2} dt [/mm] [mm]
= \int_{0}^\(\tfrac {\pi} {2}) [/mm] [mm] \sqrt{9(cost)^4 sint^2 + 9(sint)^4 cost^2} dt [/mm] [mm]
=3\int_{0}^\(\tfrac {\pi} {2}) [/mm] [mm] \sqrt{(cost)^4 sint^2 + (sint)^4 cost^2} dt
[/mm]
Falls bis hierhin noch alles richtig ist, krieg ich spätestens hier Probleme mit der Stammfunktion. Ich konnte weder partielle Integration noch Substitution sinnvoll anwenden. Letztlich habe ich dann den Integrator unter www.integrals.wolfram.com benutzt und folgende Stammfunktion erhalten:
[mm] 3(-(\tfrac {1} {4}) cot(t) \sqrt{sin^2(2t)}) [/mm] von 0 bis [mm] (\tfrac {pi} {2}) [/mm] und nach Einsetzen erhält man dummerweise 0 als Ergebnis, da der sin von 2 mal [mm] (\tfrac {pi} {2}) [/mm] gleich null ist und der cot von 0 auch gleich Null ist.
Gruß almightybald
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Karsten,
> Berechnen Sie [mm]L(\gamma\mid[0, \pi/2][/mm] für die Kurve
> [mm]\gamma:[0,2\pi]\rightarrow\IR, t\rightarrow ((cost)^3, (sint)^3).[/mm]
>
> Ich bin mir sicher, dass sich bei mir der Fehlerteufel
> eingeschlichen hat. Ich habe für die Länge Null
> rausgekriegt und das ist offensichtlich falsch. Das Bild zu
> der Lösung findet ihr übrigens hier:
> https://matheraum.de/read?i=560816. Hier meine Lösung:
>
> Um die Länge der Kurve zu berechnen wende ich den Satz 9.6
> [mm](f:[a,b]\rightarrow\IR^n[/mm] stetig differenzierbare Kurve => f
> ist rektifizierbar & L= [mm]\int_{a}^{b} \|[/mm] f'(t) [mm]\|[/mm] dt) an.
> Hierfür muss ich zeigen, dass die Kurve stetig
> differenzierbar ist. Dies bedeutet die Ableitung von
> [mm]t\rightarrow[(cost)^3, (sint)^3][/mm] muss stetig sein.
> [mm]t'\rightarrow[-3(cost)^2[/mm] sint, [mm]3(sint)^2[/mm] cost]
> Die t' Funktion lässt sich als Verkettung von stetigen
> Funktionen (Sinus, Kosinus und [mm]t^2)[/mm] darstellen und ist
> somit ebenfalls stetig.
> aus Satz 9.6 =>
> [mm]
\| t' \| = \int_{0}^\(\tfrac {\pi} {2})[/mm] [mm]\sqrt{(-3(cost)^2 sint)^2 + (3(sint)^2 cost)^2} dt[/mm]
> [mm]
= \int_{0}^\(\tfrac {\pi} {2})[/mm] [mm]\sqrt{9(cost)^4 sint^2 + 9(sint)^4 cost^2} dt[/mm]
> [mm]
=3\int_{0}^\(\tfrac {\pi} {2})[/mm] [mm]\sqrt{(cost)^4 sint^2 + (sint)^4 cost^2)} dt
[/mm]
>
> Falls bis hierhin noch alles richtig ist, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") krieg ich
> spätestens hier Probleme mit der Stammfunktion. Ich konnte
> weder partielle Integration noch Substitution sinnvoll
> anwenden. Letztlich habe ich dann den Integrator unter
> www.integrals.wolfram.com benutzt und folgende
> Stammfunktion erhalten:
>
> [mm]3(-(\tfrac {1} {4}) cot(t) \sqrt{sin^2(2t)})[/mm] von 0 bis
> [mm](\tfrac {pi} {2})[/mm] und nach Einsetzen erhält man dummerweise
> 0 als Ergebnis, da der sin von 2 mal [mm](\tfrac {pi} {2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gleich null ist und der cot von 0 auch gleich Null ist.
Klammere hier $3\cdot{}\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{\cos^4(t)\sin^2(t)+\sin^4(t)+\cos^2(t)} \ dt}$ unter der Wurzel noch $\sin^2(t)\cos^2(t)$ aus:
Das gibt: $...=3\cdot{}\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{\cos^2(t)\sin^2(t)\cdot{}(\underbrace{\cos^2(t)+\sin^2(t)}_{=1})} \ dt}=3\cdot{}\int\limits_{0}^{2\pi}|\cos(t)\sin(t)| \ dt}$
Damit nun weiter ...
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> Gruß almightybald
>
> ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
schachuzipus
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