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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 So 12.08.2012 | | Autor: | Jaden |
| Aufgabe | Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionenscharen II - Aufgabe 201C
Gegeben ist eine Schar von Exponentialfunktionen fk durch den Funktionsterm:
fk(x) = -1/2 [mm] (x^2-k)*e^-x
[/mm]
Die Graphen seien Gk.
a) Diskutieren Sie fk in Abhängigkeit vom Parameter k. Untersuchen Sie insbesondere, wie
a1) der Schnittpunkt mit der y-Achse
a2) die Anzahl und der Typ der Schnittpunkte mit der x-Achse
a3) die Anzahl und der Typ der Extrempunkte
a4) die Anzahl und der Typ der Wendepunkte
von Gk vom Parameter k abhängt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo an alle!
Dies ist meine 1. Frage, die ich hier in eurem schönen Forum stelle. Ich hoffe, es ist so weit alles korrekt!
Nun zu meinem Problem:
Es geht um die Extrempunkte, genauer gesagt schon die Ableitungen.
Ich habe zunächst die Klammer der Funktionenschar aufgelöst, also:
[mm] -1/2*e^-x*x^2 [/mm] + 1/2*e^-x*k
Als nächstes habe ich beide Summanden einzeln abgeleitet:
e^-x*x-1/2*e^-x*k
und dann e^-x ausgeklammert:
e^-x*(x-1/2*k)
Ist das so richtig? Ich bitte um eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 12.08.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Kurvendiskussion mit Exponentialfunktionenscharen II -
> Aufgabe 201C
> Gegeben ist eine Schar von Exponentialfunktionen fk durch
> den Funktionsterm:
> fk(x) = -1/2 [mm](x^2-k)*e^-x[/mm]
> Die Graphen seien Gk.
> a) Diskutieren Sie fk in Abhängigkeit vom Parameter k.
> Untersuchen Sie insbesondere, wie
> a1) der Schnittpunkt mit der y-Achse
> a2) die Anzahl und der Typ der Schnittpunkte mit der
> x-Achse
> a3) die Anzahl und der Typ der Extrempunkte
> a4) die Anzahl und der Typ der Wendepunkte
> von Gk vom Parameter k abhängt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo an alle!
> Dies ist meine 1. Frage, die ich hier in eurem schönen
> Forum stelle. Ich hoffe, es ist so weit alles korrekt!
Das ist ok, dann erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Nun zu meinem Problem:
> Es geht um die Extrempunkte, genauer gesagt schon die
> Ableitungen.
> Ich habe zunächst die Klammer der Funktionenschar
> aufgelöst, also:
> [mm]-1/2*e^-x*x^2[/mm] + 1/2*e^-x*k
Das würde ich bei e-Funktionen nicht tun, die Ableitungen werden dadurch eher kompliziert.
Du hast:
[mm]f_{k}(x)=-\frac{1}{2}\cdot(x^{2}-k)\cdot e^{-x} [/mm]
Nun nutze die  Produktregel, es gilt:
[mm]f_{k}(x)=-\frac{1}{2}\cdot\underbrace{(x^{2}-k)}_{u}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{v} [/mm]
Also:
[mm]f_{k}(x)=-\frac{1}{2}\cdot\left[\underbrace{2x}_{u'}\cdot\underbrace{e^{-x}}_{v}+\underbrace{(x^{2}-k)}_{u}\cdot\underbrace{(-1\cdot e^{-x})}_{v' {\text{Kettenregel!}}\right] [/mm]
Nun klammere wieder aus:
[mm][mm] f_{k}'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\left[2x\cdot e^{-x}+(x^{2}-k)\cdot(-1)\cdot e^{-x}\right]
[/mm]
[mm]=-\frac{1}{2}\cdot\left[2x\cdot e^{-x}-(x^{2}-k)\cdot e^{-x}\right] [/mm]
[mm]=-\frac{1}{2}\cdot\left(-x^{2}+2x+k\right)\cdot e^{-x}[/mm]
Nun kannst du bei der Suche nach den Extremstellen wieder ein Produkt gleich Null setzen, und den Satz des Nullproduktes anwenden.
"Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist"
Außerdem kannst du die 2. Ableitung nun wieder mit der Produktregel bestimmen, hier:
[mm]f_{k}''(x)=-\frac{1}{2}\cdot\left[(-2x+2)\cdot e^{-x}+(-x^{2}+2x+k)\cdot(-1)\cdot e^{-x}\right][/mm]
[mm]=-\frac{1}{2}\cdot\left[(-2x+2)\cdot e^{-x}+(x^{2}-2x-k)e^{-x}\right][/mm]
[mm]=-\frac{1}{2}\cdot(x^{2}-4x+2-k)\cdot e^{-x}[/mm]
> Als nächstes habe ich beide Summanden einzeln
> abgeleitet:
> e^-x*x-1/2*e^-x*k
> und dann e^-x ausgeklammert:
> e^-x*(x-1/2*k)
> Ist das so richtig? Ich bitte um eure Hilfe!
Dir ist beim Ausmultiplizieren der Faktor [mm] -\frac{1}{2} [/mm] verlorengegangen.
Außerdem hast du beim ersten Faktor die Produktregel übersehen. Du kommst bei diesen Aufgaben nicht um die Anwendung der Produktregel herum, und falls im Expoenenten bei dem "e-Teil" nicht nur x steht, brauchst du auch noch die Kettenregel.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Jaden |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
Das mit der Produktregel hätte ich vlt auch so machen müssen.
Nun komme ich weiter. =)
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