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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Caipi |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurvenschar f(x)=x²-a*ln x; a>0 und x>0
Bestimmen sie die Extrempunkte und zeigen sie, dass f(x) keine Wendepunkte besitz und untersuchen sie diese Kurvenschar für a<0-wie ändert sich das Erscheinungsbild der Schar für nunmehr negative Parameter a? |
Bitte helft mir. Die Ableitungen habe ich, doch wie stelle ich das um. Und mit dem a<0 weiß ich gar nicht wie ich das machen soll!?
Hier die Ableitungen, hoffe sie stimmen: f'(x)=2x-a/x
f''(x)= 2+a/x²
Bitte helft mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 24.06.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Caipi,
Die Ableitungen hast Du korrekt 
Und wie geht's denn jetzt normalerweise weiter?
Das ist bei Kurvenscharen nicht anders als sonst, nur dass da nun noch das a scheinbar "störend" herumlungert, aber das darf einen nicht stören.
Einfach zunächst weiterrechnen, als wäre a eine ganz normale Zahl.
Also wieder Ableitung gleich null setzen, x ausrechnen. Statt einer simplen Zahl kommt dann ein Ausdruck mit a heraus. Dabei dürfte das a auch unter einer Wurzel stehen, und das ist dann der Punkt, wo das Vorzeichen von a eine Rolle spielt.
Und wenn es keinen Wendepunkt geben soll, so heißt das ja, dass die zweite Ableitung nicht gleich null werden kann. Probier es aus, setze sie gleich null und versuche, x zu berechnen! Auch hier ein a unter der Wurzel.
So, jetzt bist Du wieder dran! 
Schöne Grüße ,
ardik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Caipi |
Okay, ich hab jetzt Wurzel aus a/2 raus
das muss ich doch jetzt in f einsetzen, ne, um den y wert rauszubekommen?! denn in die 2.Ableitung hab ichs schon eingesetzt-es ist ein Tiefpunkt. Aber ich hab jetzt f( [mm] \wurzel{a/2} [/mm] )=a/2-a*ln( [mm] \wurzel{a/2})
[/mm]
Wie kann ich das noch weiter umformen, um den y wert zu ermitteln?
(Den wendepunkt hab ich bzw. weiß nun, dass es nicht geht)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Caipi!
> f([mm]\wurzel{a/2}[/mm] )=a/2-a*ln( [mm]\wurzel{a/2})[/mm]
Wenn Du noch möchtest, kannst Du noch ein  Logarithmusgesetz anwenden mit [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm] .
Denn es gilt ja: [mm] $\wurzel{\bruch{a}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{a}{2}\right)^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Damit wird dann: [mm] $f\left(\wurzel{\bruch{a}{2}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{2}-\bruch{a}{2}*\ln\left(\bruch{a}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{2}*\left[1-\ln\left(\bruch{a}{2}\right)\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Caipi |
Okay, verstanden. Vielen Dank. Soo...hätte aber noch eine Frage und zwar für welchen Wert von a liegt der Tiefpunkt auf der x Achse? Muss ich dann die Funktion =0 setzen und für x den x wert des Tiefpunktes einsetzen? Geht das? und dann nach a umstellen?
Also: 0= [mm] (\wurzel{a/2})²*a*ln [/mm] ( [mm] \wurzel{a/2}) [/mm] und dann hab ich das so:
0=a²/2*ln(a/2) ^{0.5}
0=a²/4*ln(a/2) dann durch ln(a/2) teilen?
0=a²/4 dann mal 4, sodass a=0??? Stimmmt das oder geht die Aufgabe überhaupt so?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Caipi |
Okay, danke!
Und dann soll ich noch die Ergebnisse von der vorherigen Aufgabe, also a=0 und a=2e nutzen und die Anzahl der Nullstellen von f in Abhängigkeit von a untersuchen. Muss ich da einfach die Funktion f=0 setzen und für a einmal 0 und einmal 2e einsetzen und dann nach x umstellen für Nullstellenberechnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Caipi,
> Okay, danke!
> Und dann soll ich noch die Ergebnisse von der vorherigen
> Aufgabe, also a=0 und a=2e nutzen und die Anzahl der
> Nullstellen von f in Abhängigkeit von a untersuchen. Muss
> ich da einfach die Funktion f=0 setzen und für a einmal 0
> und einmal 2e einsetzen und dann nach x umstellen für
> Nullstellenberechnung?
Du sollst ja nur Angaben über die Anzahl der Nullstellen machen. Du brauchst sie also nicht zu berechnen. Das ist bei dieser Funktionenschar auch nur näherungsweise möglich.
Aber du weißt ja schon, dass deine Funktion nur einen Extrempunkt, und zwar einen Tiefpunkt hat. Die Lage des Tiefpunktes gibt dir also Auskunft über die Zahl der Nullstellen. Liegt der Tiefpunkt auf der x-Achse gibt es genau eine Nullstelle. Das ist für a=0 und a=2e der Fall. Liegt der Tiefpunkt über der x-Achse, gibt es keine Nullstelle, liegt er unterhalb der x-Achse, gibt es zwei Nullstellen. Überleg dir mal, wo dein Tiefpunkt im Intervall ]0,2e[ und wo im Intervall ]2e, [mm] \infty[ [/mm] liegt. Auch für den Fall a<0 kannst du Aussagen über die Anzahl der Nullstellen machen.
Versuch's mal.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Caipi |
Also irgendwie komm ich da nicht klar. Und ich denke, dass ich die auch halbwegs berechnen muss. Ich hab jetzt für a=0: 0=x²-0*ln x
0=x
Und dann für a=2e: 0=x²-2e*ln x nur wie forme ich das um? check ich nicht...sry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Sa 24.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Caipi,
> Also irgendwie komm ich da nicht klar. Und ich denke, dass
> ich die auch halbwegs berechnen muss. Ich hab jetzt für
> a=0: 0=x²-0*ln x
>
> 0=x
> Und dann für a=2e: 0=x²-2e*ln x nur wie forme ich das um?
> check ich nicht...sry
Brauchst du gar nicht. Du weißt, dass der Graph für a<0 einen absoluten Tiefpunkt T($ [mm] \wurzel{\bruch{a}{2}};\bruch{a}{2}\cdot (1-\ln\bruch{a}{2}) [/mm] $) hat. Dieser liegt für a=2e auf der x-Achse, also gibt es für a=2e genau eine Nullstelle. In diesem Fall kannst du sie sogar genau angeben (obwohl das gar nicht verlangt war). Es ist deine Minimumstelle $ [mm] x=\wurzel{\bruch{a}{2}}=\wurzel{e} [/mm] $
Nun überlege dir mal, ob der Tiefpunkt für z.B. a=1 oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt, d.h. ist $ [mm] \bruch{a}{2}\cdot (1-\ln\bruch{a}{2}) [/mm] $ für a=1 größer oder kleiner als 0?. Vielleicht verstehst du damit die Lösungsidee leichter. Oder zeichne einmal die Graphen für einige a-Werte.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 25.06.2006 | | Autor: | Caipi |
Ich glaub, jetzt hab ichs: Wenn a<2e, dann gibt es keine Nullstellen und wenn a>2e, gibt es zwei Nullstellen, stimmt das? Da es genau eine Nst. gibt für a=2e!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Mo 26.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Caipi!
So stimmt es ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
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