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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 So 15.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Ich habe jetzt nochmal ne Kurve untersucht.
[mm] y=\bruch{x^{2}+2x+4}{x+2}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{x^{2}+4x}{(x+2)^{2}}
[/mm]
[mm] y''=\bruch{8}{(x+2)^{3}}
[/mm]
Definitionsbereich:
[mm] x\in\IR
[/mm]
[mm] x\not=-2
[/mm]
Nullstelle:
Es gitb keine Nullstellen, da unter der Wurzel ein negaitver Wert entsteht.
Schnittpunkt mit der y-Achse (x=0)
y=4
Extrema:
y'=0
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=-4
[/mm]
y(0) in f''
[mm] y_{0}=1>0 [/mm] Tiefpunkt
[mm] y_{-4}=-1<0 [/mm] Hochpunkt
Tiefpunkt bei {0;2}
Hochpunkt bei {-4;-6}
Wendepunkte gibt es nicht, da ich f'' nicht "Null setzen" kann.
Verhalten im Unendlichen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{2}+2x+4}{x+2}=\bruch{\infty}{\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x+2}{1}=\bruch{\infty}{1}=+\infty
[/mm]
(jetzt soll das natürlich gegen - unendlich laufen, aber ich konnt das irgendwie nicht einstellen, sorry.)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x^{2}+2x+4}{x+2}=\bruch{\infty}{\infty}\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{2x+2}{1}=\bruch{\infty}{1}=-\infty
[/mm]
Und jetzt wollt ich noch die "Polstelle" untersuchen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\(-2)}=\bruch{16}{-0}=-unendlich
[/mm]
Nur jetzt weis ich nicht genau, was das bedeutet. Etwa das die Funktion sich bis auf "-2" an die x-Achse annähert?
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Hallo,
Ableitungen: ok
Definitionsbereich: ok
Nullstelle: ok
Schnittstelle mit der y-Achse: x=0 einsetzen ist ok, aber auch im Nenner!, somit y=2
Tiefpunkt: ok
Hochpunkt: ok
Wendepunkte: ok
Verhalten für x gegen [mm] \pm [/mm] unendlich: ok
Verhalten für x gegen -2: hier ist zu untersuchen, das Verhalten für x gegen -2 von rechts und von links, für x gegen -2 von links -unendlich, für x gegen -2 von rechts unendlich, was bedeutet, die Funktionswerte gehen nach - bzw. + unendlich
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 15.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
und das ist mein problem, ich versteh das nicht wie ich die "polstelle" untersuchen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> und das ist mein problem, ich versteh das nicht wie ich die
> "polstelle" untersuchen soll.
Hallo,
für eine Polstelle ist ausreichend: Nennerfunktion = Null und Zählerfunktion ungleich Null.
Das ist hier nicht gegeben.
Es hätte sich für dich alles sehr vereinfacht, wenn du erkannt hättest, dass die Zählerfunktion nichts anderes als [mm] (x+2)^2 [/mm] ist.
Damit kannst du für [mm] x\ne [/mm] -2 deinen Funktionstern mit (x+2) kürzen und erhältst y=(x+2) mit einer einzigen Defnitionslücke (aber keiner Polstelle).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 So 15.11.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo abakus, [mm] x^{2}+2x+4\not=(x+2)^{2} [/mm] Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 15.11.2009 | | Autor: | Ice-Man |
Aber die Zähler funktion ist doch dann nicht Null, sondern nur die Nennerfunktion.
Es würde doch stehen.
[mm] =\bruch{(-2)^{2}+2(-2)+4}{-2+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4-4+4}{-2+2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{0}
[/mm]
und das verstehe ich halt nicht. also muss ich dann immer schauen, ob ich den zähler vereinfache kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 15.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du musst ja den Rechts- und Linksseitigen Limes bei der Definitionslücke (hier -2) bestimmen.
Dazu nimm dir am besten Folgen her, die gegen -2 "passend" konvergieren, also z.B.
[mm] a_{n}:=-2+\bruch{1}{n} [/mm] ,die für [mm] n\to\infty [/mm] rechtsseitig gegen -2 konvergiert.
und [mm] b_{n}.=-2-\bruch{1}{n} [/mm] für linksseitige Konvergenz:
Und jetzt betrachte mal:
[mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{\left(-2+\bruch{1}{n}\right)^{2}+2*\left(-2+\bruch{1}{n}\right)+4}{\left(-2+\bruch{1}{n}\right)+2}
[/mm]
bzw:
[mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{\left(-2-\bruch{1}{n}\right)^{2}+2*\left(-2-\bruch{1}{n}\right)+4}{\left(-2-\bruch{1}{n}\right)+2}
[/mm]
Damit bekommst du das Verhalten an der Def-Lücke heraus.
Alternativ kannst du natürlich auch eine andere Folge nehmen, die gegen -2 konvergiert, z.B. auch [mm] c_{h}:=2+h [/mm] , die für [mm] h\to0 [/mm] auch gegen 2 konvergiert.
Marius
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