Kurze Frage zum Lebesgue Maß < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
kurz und knapp:
Als Teil einer Aufgabe benötige ich das Lebesguemaß der Menge [mm] M:=\{x | x \mbox{ irrational}\}, x\in [/mm] [0,1].
Nun weiß ich bereits, dass das Lebesguemaß einer abzählbaren Teilmenge von [mm] \IR [/mm] eine Lebesguesche Nullmenge ist, aber die irrationalen Zahlen bilden doch eine überabzählbare Menge, oder?
Naiverweise würde ich da auch vorgehen, wie bei der abzählbaren, da es ja nur Vereinigungen von Punkten sind, von denen jeweils das Maß 0 ist, aber irgendwas sagt mir, dass das bei einer überabzählbaren Menge nicht so ist.
Wär nett, wenn das kurz jemand erklären könnte.
greetz steele
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Hallo steele,
es ist doch so, daß sich das reelle intervall $[0,1]$ als (disjunkte) vereinigung der rationalen (R) und der irrationalen (M) zahlen in diesem intervall ergibt.also
[mm] $[0,1]=M\cup [/mm] R$
R rationale Zahlen, M irrationale Zahlen.
außerdem ist das lebesgue-maß additiv, dh.
[mm] $\mu ([0,1])=\mu(M)+\mu(R)$.
[/mm]
Was ist also [mm] $\mu(M)$?
[/mm]
VG
Matthias
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