L-Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Pondy |
Hallo,
ich habe mal eine Grundlegende Frage.
Ich habe eine L-stetige r-mal stetig differenzierbare vektorwertige Funktion f(t,x(t)).
D.h. [mm] \parallel f(t,x(t))-f(t,y(t))\parallel \le L\parallel x(t)-y(t)\parallel.
[/mm]
Kann man daraus jetzt eine Abschätzung irgendwelcher Ableitungen nach oben unter Verwendung von L schließen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal.
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Huhu,
schau dir doch mal die Definition der Differenzierbarkeit an (Differenzenquotienten etc) und versuche dann mal die Ableitung durch L abzuschätzen.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Sa 06.09.2008 | | Autor: | Pondy |
Ich hab mir überlegt:
[mm] \limes_{y\rightarrow x}\bruch{\parallel f(t,x)-f(t,y)\parallel}{\parallel x-y\parallel}=\parallel f'(t,x)\parallel [/mm] und da [mm] \parallel f(t,x)-f(t,y)\parallel\le L\parallel x-y\parallel [/mm] müsste gelten [mm] \parallel f'(t,x)\parallel\le [/mm] L.
Aber gilt das? x und y sind ja Funktionen und welche Norm muss ich für [mm] \parallel f'(t,x)\parallel [/mm] nehmen? f'(t,x) ist ja ne Matrix?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 So 07.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Ich hab mir überlegt:
> [mm]\limes_{y\rightarrow x}\bruch{\parallel f(t,x)-f(t,y)\parallel}{\parallel x-y\parallel}=\parallel f'(t,x)\parallel[/mm]
> und da [mm]\parallel f(t,x)-f(t,y)\parallel\le L\parallel x-y\parallel[/mm]
> müsste gelten [mm]\parallel f'(t,x)\parallel\le[/mm] L.
> Aber gilt das? x und y sind ja Funktionen und welche Norm
> muss ich für [mm]\parallel f'(t,x)\parallel[/mm] nehmen? f'(t,x) ist
> ja ne Matrix?
Wenn eine Funktion in einem Punkte partiell differenzierbar ist, dann ist sie dort auch lokal L-stetig. Als L-Konstante kann man jede Zahl größer-gleich dem Maximum der Norm der Ableitung in der entsprechenden Umgebung des Punktes nehmen.
Deine Abschätzung ist also an sich richtig (bis auf den nächsten Punkt), nur würde ich vorher noch mit der direkten Definition der Differenzierbarkeit anfangen und erst dann überall die Normen draufwerfen auf die Gleichung.
x und y sind zwar Funktionen, aber du müsstest auch in der Rechnung immer x(t) und y(t) schreiben - und das sind dann Vektoren.
Bei den Normen müsstest du dieselbe nehmen, die du für die L-Abschätzung benutzt hast. Bei der Matrixnorm wahrscheinlich die, die von dieser Vektornorm induziert wird.
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