L.Abbildung-Polynomfunktionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | "Sei K ein Körper und [mm] f:\IK[X]\to\mathcal{P(\IK)} [/mm] die Abbildung, die jedem Polynom P= [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}X_{k} [/mm] seine zugehörige Polynomfunktion p= [mm] \summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}p_{k} [/mm] (mit [mm] p_{k}=x^{k} [/mm] , [mm] x\in \IK, k\in \IN [/mm] ) zuordnet.
Zeige:
f ist ein Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] K unendlich " |
Hallo, ich würde gerne, dass jemand mir ein bissl hilft.
Was ich versucht habe, ist alles durch Machtigkeiten, also für endliche [mm] |\IK| [/mm] = m, dann ist [mm] |P(\IK)|=2^{m} [/mm] und das ist abzählbar, dagegen [mm] |\IK[X]| [/mm] ist unabzählbar.
Der Fall der unendlichen Menge [mm] \IK [/mm] ist analog.
Ist diese Idee zu folgen oder sollte ich etwas anders probieren?
Ich würde mich bei allen bedanken, die nutzliche Hinweise erteilen. Inhalt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> "Sei K ein Körper und [mm]f:\IK[X]\to\mathcal{P(\IK)}[/mm] die
> Abbildung, die jedem Polynom P= [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}X_{k}[/mm]
> seine zugehörige Polynomfunktion p= [mm]\summe_{k=0}^{n} \alpha_{k}p_{k}[/mm]
> (mit [mm]p_{k}=x^{k}[/mm] , [mm]x\in \IK, k\in \IN[/mm] ) zuordnet.
> Zeige:
> f ist ein Isomorphismus [mm]\gdw[/mm] K unendlich "
>
> Hallo, ich würde gerne, dass jemand mir ein bissl hilft.
>
>
>
> Was ich versucht habe, ist alles durch Machtigkeiten, also
> für endliche [mm]|\IK|[/mm] = m, dann ist [mm]|P(\IK)|=2^{m}[/mm] und das ist
> abzählbar, dagegen [mm]|\IK[X]|[/mm] ist unabzählbar.
Du meinst [mm] $|P(\IK)| [/mm] = [mm] 2^m$ [/mm] ist endlich und [mm] $\IK[x]$ [/mm] ist unendlich.
> Der Fall der unendlichen Menge [mm]\IK[/mm] ist analog.
Was heisst hier analog?
> Ist diese Idee zu folgen oder sollte ich etwas anders
> probieren?
Die Idee hilft nur fuer die eine Richtung, wenn [mm] $\IK$ [/mm] endlich ist dass die Abbildung kein Isomorphismus sein kann.
Sei nun [mm] $\IK$ [/mm] unendlich. Die Abbildung [mm] $\IK[x] \to P(\IK)$ [/mm] ist ein surjektiver Homomorphismus, du musst also zeigen, dass er injektiv ist. Wenn ein Polynom $f [mm] \in \IK[x]$ [/mm] auf die Nullabbildung abgebildet wird, was bedeutet das fuer den Grad von $f$?
HTH :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 So 29.04.2007 | | Autor: | branwijck |
Hi Felix,
ich habe erklärt, worum es im endlichen Fall gehen würde.
Natürlich ist es nicht bijektiv sondern surjektiv im endlichen Fall (Bis hier komme ich hier zurecht).
Was ich versucht habe, ist alles zu beweisen nur mittels Mächtigkeiten, also, im unendlichen Fall, [mm] |\mathcal{P(\IK)}| [/mm] = Aleph 1 = [mm] |\IK[X]| [/mm] .
Aber ich finde zu kompliziert, es muss etwas eleganteres geben, also, etwas bezogener auf lineare Algebra.
Danke für alles
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 29.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich habe erklärt, worum es im endlichen Fall gehen würde.
> Natürlich ist es nicht bijektiv sondern surjektiv im
> endlichen Fall (Bis hier komme ich hier zurecht).
>
> Was ich versucht habe, ist alles zu beweisen nur mittels
> Mächtigkeiten, also, im unendlichen Fall,
> [mm]|\mathcal{P(\IK)}|[/mm] = Aleph 1 = [mm]|\IK[X]|[/mm] .
Wie schon gesagt, Maechtigkeiten helfen dir im unendlichen Fall nicht weiter. Nur weil zwei Mengen dort gleichmaechtig sind, heisst das noch lange nicht, das sie auch gleich sind. (Selbst wenn die eine Teilmenge der anderen ist.)
Du musst explizit zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist. Surjektivitaet und Homomorphismus sind einfach. Fehlt also die Injektivitaet.
Dazu musst du dir ueberlegen, was passiert, wenn ein Polynom $f [mm] \in \IK[x]$ [/mm] auf die Nullfunktion abgebildet hat. D.h. ja, dass jedes $t [mm] \in \IK$ [/mm] eine Nullstelle von $f$ ist. Was sagt das ueber den Grad von $f$ aus, wenn $f [mm] \neq [/mm] 0$ waere?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mo 30.04.2007 | | Autor: | branwijck |
Danke Felix, ich kann "das Licht" bzw. die Lösung schon sehen, es fehlt mir nur noch ein bissl mehr.
> Dazu musst du dir ueberlegen, was passiert, wenn ein
> Polynom [mm]f \in \IK[x][/mm] auf die Nullfunktion abgebildet hat.
> D.h. ja, dass jedes [mm]t \in \IK[/mm] eine Nullstelle von [mm]f[/mm] ist.
Also, denn wäre das Polynom so:
[mm] \produkt_{i=0}^{\infty}(x-t_{i})^{e_{i}} [/mm] mit [mm] t_{i}\in\IK
[/mm]
wobei [mm] e_{i} [/mm] die Vielfachheit der Nullstele ist.
Wäre schon damit die Injektivität bewiesen?
GRüsse
> Was sagt das ueber den Grad von [mm]f[/mm] aus, wenn [mm]f \neq 0[/mm]
> waere?
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Mo 30.04.2007 | | Autor: | branwijck |
Hi Felix nochmal,
könnte ich wie folgt die Injektivität beweisen?
[mm] \summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}x^{k}=f(P)=f(Q)= \summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}y^{k},
[/mm]
so ist [mm] \summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}(x^{k}-y^{k})=0.
[/mm]
Für [mm] f\not=0 [/mm] ist [mm] \summe_{k=0}^{n}(x^{k}-y^{k})=0 [/mm] und somit [mm] \summe_{k=0}^{n}x^{k}=\summe_{k=0}^{n}y^{k}).
[/mm]
Wäre's richtig?
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mo 30.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> könnte ich wie folgt die Injektivität beweisen?
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}x^{k}=f(P)=f(Q)= \summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}y^{k},[/mm]
Was haben $x$ und $y$ mit $P$ und $Q$ zu tun?
> so ist [mm]\summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}(x^{k}-y^{k})=0.[/mm]
> Für [mm]f\not=0[/mm] ist [mm]\summe_{k=0}^{n}(x^{k}-y^{k})=0[/mm] und somit
> [mm]\summe_{k=0}^{n}x^{k}=\summe_{k=0}^{n}y^{k}).[/mm]
Sind jetzt irgendwie die Koeffizienten verlorengegangen?
Mach es doch einfach so: benutze, dass ein Polynom $f [mm] \in \IK[x]$ [/mm] mit $f [mm] \neq [/mm] 0$ hoechstens [mm] $\deg [/mm] f$ Nullstellen hat. Wenn also $f(x) = 0$ ist fuer alle $x [mm] \in \IK$ [/mm] und [mm] $|\IK| [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ist, dann muss $f = 0$ sein.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mo 30.04.2007 | | Autor: | branwijck |
Hi Felix,
mein Versuch war die Injektivität zu zeigen, wie es die Injektivität immer bewiesen worden ist, also sei
f:A [mm] \to [/mm] B
heißt f injektiv, wenn für alle a,b [mm] \in [/mm] A f(a)=f(b), dann a=b.
In unserem Fall ist [mm] A=\IK[X] [/mm] und [mm] B=\mathcal{P(\IK)}
[/mm]
a=P und b=Q Polynome, keine Polynomfunktionen!!!)
In der vorigen Mitteilung habe ich es falsch angewendet, ich wollte eigentlich so was schreiben:
[mm] P=\summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}X^{k}
[/mm]
[mm] Q=\summe_{k=0}^{n}\beta_{k}X^{k}
[/mm]
Natürlich bleibt X unbestimmt und nicht Y wie ich geschrieben habe. Mein Fehler.
[mm] \summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}x^{k}= [/mm] f(P)=f(Q) [mm] =\summe_{k=0}^{n}\beta_{k}x^{k}.
[/mm]
Anders dargestellt [mm] \alpha [/mm] x= [mm] \beta [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm]
Bis hier einverstanden?
Dann [mm] \alpha [/mm] X=P=Q= [mm] \beta [/mm] X
Somit ist die Injektivität bewiesen.
Ich hoffe die Notation irritiert dich nicht.
Es war nur um die Berechnungen zu vereinfachen
Notation (nur zw. uns!)
x ist [mm] (x^{0} x^{1} [/mm] ... [mm] x^{n})
[/mm]
X ist [mm] (X^{0} X^{1} [/mm] ... [mm] X^{n})
[/mm]
[mm] \alpha=(\alpha_{0} \alpha_{1} [/mm] ... [mm] \alpha_{n})
[/mm]
[mm] \beta=(\beta_{0} \beta_{1} [/mm] ... [mm] \beta_{n})
[/mm]
Viele Grüsse und Danke für deine Geduld ;p
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 30.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> mein Versuch war die Injektivität zu zeigen, wie es die
> Injektivität immer bewiesen worden ist, also sei
> f:A [mm]\to[/mm] B
> heißt f injektiv, wenn für alle a,b [mm]\in[/mm] A f(a)=f(b), dann
> a=b.
Ja. Fuer lineare Abbildungen geht es allerdings einfacher, du musst nur zeigen, dass aus $f(a) = 0$ bereits $a = 0$ folgt (``Eine lineare Abbildung ist genau dann linear, wenn ihr Kern trivial ist''). Aber das laeuft beides auf das gleiche hinaus.
> In unserem Fall ist [mm]A=\IK[X][/mm] und [mm]B=\mathcal{P(\IK)}[/mm]
> a=P und b=Q Polynome, keine Polynomfunktionen!!!)
>
> In der vorigen Mitteilung habe ich es falsch angewendet,
> ich wollte eigentlich so was schreiben:
>
> [mm]P=\summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}X^{k}[/mm]
> [mm]Q=\summe_{k=0}^{n}\beta_{k}X^{k}[/mm]
> Natürlich bleibt X unbestimmt und nicht Y wie ich
> geschrieben habe. Mein Fehler.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\alpha_{k}x^{k}=[/mm] f(P)=f(Q)
> [mm]=\summe_{k=0}^{n}\beta_{k}x^{k}.[/mm]
...fuer alle $x [mm] \in \IK$. [/mm] Soweit ist's OK.
> Anders dargestellt [mm]\alpha[/mm] x= [mm]\beta[/mm] x [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm]
Nein, das gilt ja gerade nur im Polynomring, aber nicht allgemein wenn man Polynomfunktionen hat!
Du weisst bisher nur, dass $f(P) - f(Q)$ die Nullfunktion ist, also fuer alle $x [mm] \in \IK$ [/mm] gilt [mm] $\sum_{k=0}^n (\alpha_k [/mm] - [mm] \beta_k) x^k [/mm] = 0$ ist. Definiere nun das Polynom $h := P - Q = [mm] \sum_{k=0}^n (\alpha_k [/mm] - [mm] \beta_k) X^k$. [/mm] Du musst zeigen, dass $h = 0$ ist, daraus folgt $P = Q$.
Also hast du ein Polynom $h [mm] \in \IK[x]$ [/mm] mit $f(h) = 0$, und du musst zeigen, dass $h = 0$ ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Di 01.05.2007 | | Autor: | branwijck |
Danke
> Du weisst bisher nur, dass [mm]f(P) - f(Q)[/mm] die Nullfunktion
> ist, also fuer alle [mm]x \in \IK[/mm] gilt [mm]\sum_{k=0}^n (\alpha_k - \beta_k) x^k = 0[/mm]
> ist. Definiere nun das Polynom [mm]h := P - Q = \sum_{k=0}^n (\alpha_k - \beta_k) X^k[/mm].
> Du musst zeigen, dass [mm]h = 0[/mm] ist, daraus folgt [mm]P = Q[/mm].
>
> Also hast du ein Polynom [mm]h \in \IK[x][/mm] mit [mm]f(h) = 0[/mm], und du
> musst zeigen, dass [mm]h = 0[/mm] ist.
>
> LG Felix
>
Also, da [mm] \IK [/mm] unendlich ist, existiert kein k [mm] \in \IK, [/mm] sodass [mm] X^{k}=0 [/mm] ( Das könnte nur passieren z.B. im Fall [mm] \IZ_{8} [/mm] mit dem Element [mm] 2^{3} [/mm] aber nicht in unserem Fall) also entweder [mm] X^{k}=0, [/mm] also X=0 oder [mm] \alpha_k [/mm] - [mm] \beta_k [/mm] = 0 und daher [mm] \alpha_k [/mm] = [mm] \beta_k [/mm] und somit P=Q.
Könnte ich so beweisen?
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Mi 02.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also, da [mm]\IK[/mm] unendlich ist, existiert kein k [mm]\in \IK,[/mm]
> sodass [mm]X^{k}=0[/mm]
...es sei denn $X = 0$.
> ( Das könnte nur passieren z.B. im Fall
> [mm]\IZ_{8}[/mm] mit dem Element [mm]2^{3}[/mm] aber nicht in unserem Fall)
Das kann nur in Ringen passieren: in allen Koerpern folgt aus [mm] $X^k [/mm] = 0$ bereits $X = 0$ (ein Spezialfall der Nullteilerfreiheit).
> also entweder [mm]X^{k}=0,[/mm] also X=0 oder [mm]\alpha_k[/mm] - [mm]\beta_k[/mm] = 0
> und daher [mm]\alpha_k[/mm] = [mm]\beta_k[/mm] und somit P=Q.
> Könnte ich so beweisen?
Du versuchst das ganze wieder darauf zurueckzufuehren, dass die [mm] $X^k$, [/mm] $k [mm] \in \IN$ [/mm] linear unabhaengig sind. Das sie das bei Polynomfunktionen bei unendlichem Grundkoerper auch sind musst du gerade noch zeigen! Entweder kannst du das direkt machen (z.B. mit der Vandermonde-Determinante) oder du verwendest, dass ein Polynom von Grad $n$ hoechstens $n$ Nullstellen haben kann.
Letzteres kannst du aber auch direkt benutzen, um die Injektivitaet zu zeigen, ohne konkret Polynome mit Koeffizienten hinschreiben zu muessen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:21 Mi 02.05.2007 | | Autor: | branwijck |
Hi Felix,
ach so, nur die Injektivität beweisen , da die Surjektivität schon bewiesen wurde.
Jetzt fühle ich mich genauso als ein Dummkopf :~(, weil ich nicht so gedacht habe.
Also, so könnte ich denn beweisen, nicht wahr?
Für [mm] \IK [/mm] endlich
Wenn [mm] \IK [/mm] endlich ist, dann ist [mm] \Phi [/mm] nicht injektiv, da [mm] \mathcal{P(\IK)} [/mm] endlich ist, [mm] \IK[X] [/mm] ist aber unendlich.
Für [mm] \IK [/mm] unendlich.
Angenommen ein [mm] f\in \IK[X]/{0} [/mm] mit [mm] \Phi(f)=0, [/mm] dann hat f unendlich verschiedene Nullstellen und somit ist grad(f) nicht endlich, was die Annahme [mm] f\not=0 [/mm] widerspricht.
Grüsse
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