L2-Skalarprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 So 13.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hannes/SS07/LA2/Uebungen/04.pdf
Aufgabe 3
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Hallo!
Könnt ihr mir vielleicht bei einer Aufgabe ein wenig weiterhelfen. Ihr findet die Aufgabe unter http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hannes/SS07/LA2/Uebungen/04.pdf und zwar ist es Aufgabe 3.
Im Hinweis steht ja, dass ich annehmen muss, es gebe so ein g, welches die Eigenschaft erfüllt für eine bestimmte Funktion f.
Das heißt ja, dass für dieses f f(a)=0 ist. Muss ich jetzt zeigen, dass dann das L2 Skalarprodukt von f und g nicht Null ist? Aber wie bekomm ich das hin? Ich krieg das irgendwie nicht aufgeleitet. Oder was muss denn der Widerspruch sein? Ich weiß irgendwie gar nicht, auf welchen Widerspruch ich kommen muss. Es wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
Danke schonmal!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 So 13.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni!
> http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hannes/SS07/LA2/Uebungen/04.pdf
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> Aufgabe 3
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> Hallo!
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> Könnt ihr mir vielleicht bei einer Aufgabe ein wenig
> weiterhelfen. Ihr findet die Aufgabe unter
> http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hannes/SS07/LA2/Uebungen/04.pdf
> und zwar ist es Aufgabe 3.
> Im Hinweis steht ja, dass ich annehmen muss, es gebe so
> ein g, welches die Eigenschaft erfüllt für eine bestimmte
> Funktion f.
Nein, du nimmst da, dass es ein $g [mm] \in [/mm] V$ gibt so, dass fuer alle $f [mm] \in [/mm] V$ gilt [mm] $\int [/mm] f(x) g(x) [mm] d\mu(x) [/mm] = f(a)$.
> Das heißt ja, dass für dieses f f(a)=0 ist. Muss ich jetzt
> zeigen, dass dann das L2 Skalarprodukt von f und g nicht
> Null ist?
Nein, das sollst du nicht. Du sollst etwas anderes zeigen.
> Aber wie bekomm ich das hin? Ich krieg das
> irgendwie nicht aufgeleitet.
Du hast [mm] $\int [/mm] f(x) g(x) [mm] d\mu(x) [/mm] = [mm] \int [/mm] (x - [mm] a)^2 g(x)^2 d\mu(x)$. [/mm] Jetzt ist $(x - [mm] a)^2 g(x)^2 \ge [/mm] 0$ und stetig, und du weisst dass [mm] $\int [/mm] (x - [mm] a)^2 g(x)^2 d\mu(x) [/mm] = 0$ ist. Also muss $(x - [mm] a)^2 g(x)^2 [/mm] = 0$ sein fuer alle $x$. (Das gilt immer: wenn du das Lebesgue-Integral ueber eine nicht-negative stetige Funktion hast und es Null ist, dann muss die Funktion auch schon 0 gewesen sein. Wenn du die Aussage nicht kennst, beweise sie.)
Was folgt daraus aber wiederum fuer $g$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 So 13.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Felix!
Vielen Dank schon mal.
Also den einen Satz mit dem Lebesgue-Integral über eine nicht negative stetige Funktion hatten wir noch nicht. Wir hatten allgemein noch gar kein Lebesgue-Integral. Wir haben nur beim Thema Saklarprodukt auch das L2 Skalarprodukt kennengelernt. Wie kann ich den Satz denn beweisen? Hast du mir einen Ansatz?
Du hast ja geschrieben, dass nach allen Folgerungen letztendlich
[mm] (x-a)^{2} g(x)^{a} [/mm] = 0 sein muss.
Das würde ja bedeuten, dass entweder [mm] (x-a)^{2} [/mm] = 0 oder [mm] g(x)^{2} [/mm] = 0.
Da [mm] (x-a)^{2} [/mm] nur 0 ist für x=a, kann ich das schonmal ausschließen, da es ja für alle x gelten muss, oder?
Also muss g(x) = 0 sein für alle x, d.h. g ist konstant 0.
Ich versteh aber noch nicht ganz, was ich jetzt zrspruch führen soll!?
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Leni!
> Vielen Dank schon mal.
> Also den einen Satz mit dem Lebesgue-Integral über eine
> nicht negative stetige Funktion hatten wir noch nicht. Wir
> hatten allgemein noch gar kein Lebesgue-Integral.
Das Lebesgue-Integral von stetigen Funktionen ueber Intervallen ist gleich dem Riemann-Integral, also gleich dem Integral was du schon kennst. Interpretier die Integrale einfach als ``ganz normale'' Integrale :)
> Wir haben
> nur beim Thema Saklarprodukt auch das L2 Skalarprodukt
> kennengelernt. Wie kann ich den Satz denn beweisen? Hast du
> mir einen Ansatz?
Meinst du jetzt, dass wenn $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ ist fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$, wenn $f$ auf $[a, b]$ stetig ist und wenn [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) dx = 0$ ist, das dann $f(x) = 0$ ist fuer alle $x$?
Angenommen es waer nicht $0$. Dann gibt es ein $t [mm] \in [/mm] [a, b]$ mit $f(t) > 0$. Wegen der Stetigkeit gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ so, dass $f(t') > f(t)/2$ gilt fuer alle $t' [mm] \in [/mm] [a, b] [mm] \cap [/mm] ]t - [mm] \varepsilon, [/mm] t + [mm] \varepsilon[$. [/mm] Damit gilt dann [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) dx [mm] \ge \int_a^{t-\varepsilon} [/mm] 0 dx + [mm] \int_{t-\varepsilon}^{t+\varepsilon} [/mm] f(t)/2 dx + [mm] \int_{t+\varepsilon}^b [/mm] 0 dx = 2 [mm] \varepsilon [/mm] f(t)/2 > 0$.
> Du hast ja geschrieben, dass nach allen Folgerungen
> letztendlich
> [mm](x-a)^{2} g(x)^{a}[/mm] = 0 sein muss.
Du meinst $(x - [mm] a)^2 g(X)^2 [/mm] = 0$. Und das soll fuer jedes $x [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] gelten.
> Das würde ja bedeuten, dass entweder [mm](x-a)^{2}[/mm] = 0 oder
> [mm]g(x)^{2}[/mm] = 0.
> Da [mm](x-a)^{2}[/mm] nur 0 ist für x=a, kann ich das schonmal
> ausschließen, da es ja für alle x gelten muss, oder?
Nein, es muss nur fuer jedes $x$ entweder $(x - [mm] a)^2 [/mm] = 0$ sein oder [mm] $g(x)^2 [/mm] = 0$.
Also fuer $x [mm] \neq [/mm] a$ ist damit auf jeden Fall [mm] $g(x)^2 [/mm] = 0$, also auch $g(x) = 0$.
Kann es nun sein, dass $g(a) [mm] \neq [/mm] 0$ ist? (Bedenke, dass $g$ stetig ist.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Felix!
Vielen Dank für den Beweis.
Also nun muss entweder [mm] (x-a)^{2} [/mm] oder [mm] g(x)^{2} [/mm] = 0 sein. Für x [mm] \not= [/mm] a ist dann auf jeden Fall g(x) = 0. Für x = a wäre ja (x-a) = 0. Trotzdem muss hier auch g(x) = 0 sein, da g(x) stetig ist und g(x) auf allen anderen Werten [mm] \not= [/mm] a den Wert 0 annimmt. Richtig? Also kann ich jetzt folgern, dass g(x) [mm] \equiv [/mm] 0 ist. Jetzt komm ich aber einfach nicht drauf, was ich zum Widerspruch führen soll...?!
Lg Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:29 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Leni!
> Vielen Dank für den Beweis.
> Also nun muss entweder [mm](x-a)^{2}[/mm] oder [mm]g(x)^{2}[/mm] = 0 sein.
> Für x [mm]\not=[/mm] a ist dann auf jeden Fall g(x) = 0. Für x = a
> wäre ja (x-a) = 0. Trotzdem muss hier auch g(x) = 0 sein,
> da g(x) stetig ist und g(x) auf allen anderen Werten [mm]\not=[/mm]
> a den Wert 0 annimmt. Richtig? Also kann ich jetzt folgern,
> dass g(x) [mm]\equiv[/mm] 0 ist.
Genau.
> Jetzt komm ich aber einfach nicht
> drauf, was ich zum Widerspruch führen soll...?!
Jetzt schau dir das Skalarprodukt an: fuer jedes $f$ ist $f(a) = [mm] \delta_a(f) [/mm] = [mm] \langle [/mm] f, g [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) g(x) dx = [mm] \int [/mm] f(x) 0 dx = 0$. Wenn du jetzt ein passendes $f$ einsetzt, hast du deinen Widerspruch.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Felix!
>
> Jetzt schau dir das Skalarprodukt an: fuer jedes [mm]f[/mm] ist [mm]f(a) = \delta_a(f) = \langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) dx = \int f(x) 0 dx = 0[/mm].
> Wenn du jetzt ein passendes [mm]f[/mm] einsetzt, hast du deinen
> Widerspruch.
>
Irgendwie versteh ich das noch nicht so ganz. Wieso muss obige Bedingung denn für jedes f gelten? Wir kamen doch auf g(x)=0 nur für ein bestimmtes f, nämlich für [mm] f(x)=(x-a)^{2} [/mm] g(x).
Und wo ist der Widerspruch? Weil f(a) = 0 = <f,g>. Von dem her stimmt die Bedingung doch?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Mo 14.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Leni!
> > Jetzt schau dir das Skalarprodukt an: fuer jedes [mm]f[/mm] ist [mm]f(a) = \delta_a(f) = \langle f, g \rangle = \int f(x) g(x) dx = \int f(x) 0 dx = 0[/mm].
> > Wenn du jetzt ein passendes [mm]f[/mm] einsetzt, hast du deinen
> > Widerspruch.
> >
> Irgendwie versteh ich das noch nicht so ganz. Wieso muss
> obige Bedingung denn für jedes f gelten? Wir kamen doch auf
> g(x)=0 nur für ein bestimmtes f, nämlich für [mm]f(x)=(x-a)^{2}[/mm]
> g(x).
Die Aufgabenstellung lautet: Zeige, dass es kein $g$ gibt, das fuer alle $f$ funktioniert.
Du hast jetzt angenommen, dass es ein solches $g$ gibt, und mit Hilfe eines speziellen $f$s gezeigt, dass $g = 0$ sein muss. Dieses $g$ gilt dann aber fuer alle $f$.
> Und wo ist der Widerspruch? Weil f(a) = 0 = <f,g>. Von dem
> her stimmt die Bedingung doch?!
Ja, hier schon. Aber wenn du z.B. die konstante Funktion $f(x) = 1$ nimmst, dann klappt es nicht mehr... Fuer die muss das ja auch funktionieren, nach Annahme.
LG Felix
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