L=K[a] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei K [mm] \subset [/mm] L eine Körpererweiterung mit Grad n. Sei a [mm] \in [/mm] L ein Element, für dass es n Körperautomorphismen [mm] f_{1},...,f_{n}: [/mm] L [mm] \to [/mm] L gibt, die Fortsetzungen der Identität auf K sind und für die gilt [mm] f_{i}(a) \not= f_{j}(a) [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j. Zeigen Sie: L=K[a] |
Hallo ihr!
Also, mein Problem ist mit der Richtung L [mm] \subset [/mm] K[a]:
Ich kann ja ein beliebiges x [mm] \in [/mm] L als Kombination aus Basiselementen darstellen, und es gibt ja auch eine Basis mit a drin.
Also [mm] {a,b_{2},...,b_{n}} [/mm] Basis, [mm] x=k_{1}*a [/mm] + [mm] k_{2}*b_{2} [/mm] + [mm] k_{n}*b_{n}
[/mm]
Das hilft mir aber nicht, weil ja die anderen Elemente [mm] k_{i}*b_{i} [/mm] aus denen sich x zusammensetzt nicht in K liegen, sondern in L.
Die Sache mit den Automorphismen habe ich auch noch nicht für die andere Richtung verwendet, d.h. ich kann vlt damit das Problem irgendwie umgehen.
Hat jemand vllt eine Ahnung wie man das hier angehen könnte?
Wäe super, wenn mir jemand helfen könnte 
Liebe Grüße,
Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 06.12.2010 | | Autor: | statler |
Hi,
was ist denn die Behauptung? L = K[a]?
Gruß
Dieter
OK, ich habe die Überschrift gelesen und ziehe meine Frage zurück.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 06.12.2010 | | Autor: | statler |
Hallo,
versuch es doch mal mit dem Minimalpolynom von a. Die [mm] f_i(a) [/mm] sind ebenfalls Nullstellen des MPs. Und dann kommt der Körpergrad ins Spiel.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo!
Vielen Dank schonmal!
Leider hilft mir dein Tipp noch nicht allzu sehr weiter. Warum sind denn die [mm] f_{i}(a) [/mm] die Nullstellen des MP?
Und weiß ich überhaupt dass es ein MP gibt? Muss dazu a nicht algebraisch sein?
Liebe Grüße,
Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Mo 06.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Laura!
> Vielen Dank schonmal!
> Leider hilft mir dein Tipp noch nicht allzu sehr weiter.
> Warum sind denn die [mm]f_{i}(a)[/mm] die Nullstellen des MP?
Weil die Koeffizienten des MP in $K$ liegen, die von [mm] $f_i$ [/mm] festgehalten werden.
Wenn $g$ das MP ist, zeige, dass [mm] $g(f_i(a)) [/mm] = [mm] f_i(g(a)) [/mm] = [mm] f_i(0) [/mm] = 0$ ist.
> Und weiß ich überhaupt dass es ein MP gibt? Muss dazu a
> nicht algebraisch sein?
Die Erweiterung $L / K$ ist endlich, und $a [mm] \in [/mm] L$.
LG Felix
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Super, das hat geholfen!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Liebe Grüße,
Laura
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