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Gegeben sind die Matrizen B,C,D,E [mm] \in K^{nxn}, [/mm] und die Gleichung:
[mm] (X^{T} B)^{-1} [/mm] C-D+E=0
(a) Unter welchen Voraussetzungen ist diese Matrizengleichung eindeutig lösbar? Wie lautet die Lösung für X?
(b) Bestimme X speziell für den Fall K=R, n=2,
[mm] B=\pmat {2&5\\1&3}, C=\pmat {2&-2\\0&1}, \pmat {8&3\\11&6}.
[/mm]
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Hast du keine eigenen Ansätze? Zumindest das, was du dir bisher überlegt hast, kannst du hier posten.
Von mir gibt's jetzt erstmal nur ein paar Rechentipps, wie du die a) angehen kannst. Wenn das geschafft ist, wird die b) einfach.
Zuerst mal eine Rückfrage: wird die Klammer mit der Matrix C multipliziert? Also: [mm](X^T \cdot B)^{-1} \cdot C - D + E = 0[/mm]?
1. Bei Matrizengleichungen kannst du Summanden genauso verarbeiten, wie du's von "normalen" Gleichungen gewohnt bist: [mm]X + A = B[/mm] [mm] \gdw[/mm] [mm]X=B-A[/mm]
2. Wenn du ein Produkt von Matrizen trennen willst, dann kannst du nicht einfach durch die Matrix dividieren - das ist gar nicht definiert. Du musst mit der Inversen multiplizieren (Bedingung: die Inverse existiert).
Aber: es ist wichtig, ob du sie von links oder von rechts dranmultiplizierst, da die Multiplikation nicht kommutativ (=vertauschbar) ist.
Bsp.: [mm]A \cdot X=B[/mm] -> von links mit [mm]A^{-1}[/mm] durchmultiplizieren -> [mm]\underbrace{A^{-1} \cdot A}_{=E} \cdot X = A^{-1} \cdot B[/mm] -> [mm]X=A^{-1} \cdot B[/mm]
"Von links" deswegen, damit [mm]A^{-1}[/mm] und [mm]A[/mm] überhaupt "zusammentreffen" können, um sich gegenseitig zur Einheitsmatrix [mm]E[/mm] "auszulöschen".
3. Falls du mal eine Klammer [mm](...)^T[/mm] oder [mm](...)^{-1}[/mm] auflösen willst, in der ein Produkt steht, ein paar Beispiele:
[mm](A \cdot B)^T=B^T \cdot A^T[/mm]
[mm](A^{-1} \cdot B^T \cdot C)^{-1}=C^{-1} \cdot B^{-T} \cdot A[/mm]
Dabei habe ich verwendet, dass [mm](A^{-1})^{-1}=A[/mm] ist; ebenso gilt [mm](A^T)^T=A[/mm].
Genauso beim Zusammenfassen, z.B. [mm]A^{-1} \dot B^{-1} = (B \cdot A)^{-1}[/mm]
Reichen dir diese Rechenregeln, um weiterzukommen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 12.01.2005 | | Autor: | Linolento |
Danke, dass du mir nen paar Tips gegeben hast, ich bin schon fast verzweifelt daran...Eigentlich ist die Aufgabe total simpel, aber manchmal stellt man sich echt zu doof an!
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