LA: Teilmengen von Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Di 23.11.2004 | | Autor: | Wichtel |
Hallo (:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Aufgaben bekommen und bearbeitet:
Sei f: M [mm] \mapsto [/mm] N und seien A,B [mm] \subseteq [/mm] M . Zeigen oder widerlegen sie:
a.) f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
b.) f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \supseteq [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
c.) f(A [mm] \cap [/mm] B) = f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Aufgaben a.) und b.) müssten durch Beweis der Aufgabe c.) doch schon gelöst sein, da doch gilt:
A = B [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \subseteq [/mm] B und B [mm] \subseteq [/mm] A)
so, nun haben wir aber noch die Extraaufgaben bekommen:
d.) was passiert mit den Aussagen, wen f surjektiv, bzw injektiv ist.
Könnte mir jemand für diesen Teil einen Lösungsansatz erstellen oder bei der Erstellung eines Ansatzes helfen? Ich weiß zwar, was die Begriffe injektiv und surjektiv bedeuten, aber, ich habe auch Probleme damit, von den Aussagen auf eine Injektivität, bzw Surjektivität von f zu schließen.
Ich bin über jede Hilfe dankbar.
Gruß Wichtel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:55 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wichtel,
> Hallo (:
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe folgende Aufgaben bekommen und bearbeitet:
>
> Sei f: M [mm]\mapsto[/mm] N und seien A,B [mm]\subseteq[/mm] M . Zeigen
> oder widerlegen sie:
>
> a.) f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
Sei [mm]y \in f(A \cap B)[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ mit $f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] A$ mit $f(x)=y$ und $x [mm] \in [/mm] B$ mit $f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A)$ und [mm] $y=f(x)\in [/mm] f(B)$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$y=f(x) [mm] \in \left(f(A) \cap f(B)\right)$
[/mm]
Was habe ich gezeigt? 
> b.) f(A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\supseteq[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
Betrachte mal [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=|x|$. Definiere [m]A:=(-\infty;0][/m] und [m]B:=[0;\infty)[/m]. Und? Was sagst du?
> c.) f(A [mm]\cap[/mm] B) = f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>
> Aufgaben a.) und b.) müssten durch Beweis der Aufgabe c.)
> doch schon gelöst sein, da doch gilt:
> A = B [mm]\gdw[/mm] (A [mm]\subseteq[/mm] B und B [mm]\subseteq[/mm] A)
Ja, aber warum sollst du wohl a) und b) vorher lösen? Wenn beide Behauptungen richtig wären, dann würde c) auch gelten. Aber auch nur dann!
> so, nun haben wir aber noch die Extraaufgaben bekommen:
>
>
> d.) was passiert mit den Aussagen, wen f surjektiv, bzw
> injektiv ist.
Na, denke mal nach, welche Zusatzvoraussetzung(en) man an $f$ stellen müßte, so dass b) doch gilt (und dann damit auch c)).
Vielleicht überlegst du dir mal, wie, wenn man vermuten würde, dass b) gilt, man versuchen würde, dies zu beweisen:
Sei $y [mm] \in \left(f(A) \cap f(B)\right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$y [mm] \in [/mm] f(A)$ und $y [mm] \in [/mm] f(B)$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\exists x_1 \in [/mm] A$ mit [mm] $f(x_1)=y$ [/mm] und [mm] $\exists x_2 \in [/mm] B$ mit [mm] $f(x_2)=y$
[/mm]
.
.
.
Ahnst du, welche Zusatzvoraussetzung man an $f$ stellen sollte?
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Wichtel |
Wow, Danke für die schnelle und ausführlliche Antwort!
Hm bei Aufgabe d.) hast du nach der Zusatzvoraussetzung von f gesprochen, die Voruassetzung muesste dann doch eigentlich die Surjektivität von f sein?
Genau da setzt mein Problem an, ich weiss zwar die Beutung der Begriffe Injektivität und Surjektivität in Bezug auf konkrete Funktionen. Aber dann wiederum den Bezug konkreter Funktionen auf die Abbildungen von Mengen zu machen, fällt mir sehr schwer.
Wenn im Beispiel b.) f surjektiv ist, dann würde gelten, dass jedem y [mm] \in [/mm] Y , mindestens ein x [mm] \in [/mm] X zugeordnet wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Wichtel!
Nein, man benötigt nicht die Surjektivität, sondern die Injektivität, damit b) (und c)) gelten.
Denn Marcel hatte so angesetzt:
$y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$
[mm] $\Rightarrow \quad [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \quad \wedge \quad [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)$
[mm] $\Rightarrow\quad [\exists x_1 \in A\, :\, f(x_1)=y] \wedge [\exists x_2 \in B\, [/mm] : [mm] \, f(x_2)=y]$.
[/mm]
Wenn man nun weiß, dass $f$ injektiv ist, dann ist klar, dass [mm] $x_1=x_2 \in A\cap [/mm] B$ gelten muss (denn ansonsten würden ja zwei verschiedene Elemente auf $y$ abgebildet, was der Injektivität widerspräche).
Daher kann man nun im Falle der Injektivität (und nur dann!) so weiterfolgern:
[mm] $\stackrel{f \ \mbox{\scriptsize injektiv}}{\Rightarrow} \quad \exists [/mm] x [mm] \in A\cap [/mm] B [mm] \, [/mm] : [mm] \, [/mm] f(x)=y$
[mm] $\Rightarrow \quad [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)$.
Liebe Grüße
Julius
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