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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 05.03.2005 | | Autor: | checker |
hi.... könnt ihr mir sagen, wie man mit dem TI-83 Plus eine lindearfaktorzerlegung (LFZ) macht?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Sa 05.03.2005 | | Autor: | checker |
ich möchte nicht gegen die forenregeln verstoßen (zu unkonkrete fragen), deshalt möchte ich hinzufügen, dass ich die linearfaktorzerlegung der funktion
f(x) [mm] x^4-4x^3-12x^2+32x+64
[/mm]
benötige....... per TI 83 Plus.......
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Sa 05.03.2005 | | Autor: | deda |
Wie du das mit deinem Rechner machst, weiß ich zwar nicht, aber die Aufgabe kann man auch "zu Fuß" lösen.
Bestimme einfach die Nullstellen der Funktion. Angenommen diese sind
[mm] x_1,...,x_4, [/mm] dann ist f(x) = [mm] (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4).
[/mm]
Ich habe eine TI-92 und wenn ich mit ihm die Linearfaktorzerlegung von obiger Funktion suche, dann brauche ich nur factor(.......) eingeben. Ich weiß nicht, ob dein TI diese Funktion auch hat, aber kannst ja mal im Handbuch schauen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Sa 05.03.2005 | | Autor: | checker |
vielen dank für die mühe zu solch später stunde ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Sa 05.03.2005 | | Autor: | checker |
bei der von mir gegebenen funktion wären ja die nullstellen bei -2 und +4..... noch andere?? und wie komme ich jetzt auf die zerlegung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Sa 05.03.2005 | | Autor: | deda |
Du kannst z.B. erst eine Polynomdivision durch (x-4) und dann durch (x+2) machen. Das "verbleibende" Polynom vom Grad 2 Null setzen und die restlichen Nullstellen bestimmen oder du machst gleich eine Polynomdivision durch (x-4)(x+2) (natürlich vorher ausmultiplizieren).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Sa 05.03.2005 | | Autor: | checker |
also besteht die LFZ nur aus den klammern mit den jeweiligen nullstellen mit "umgekehrten" vorzeichen? und wie kommen dann die potenzen hinter die klammern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 Sa 05.03.2005 | | Autor: | deda |
und die Potenzen kommen dahin, weil "Mathematiker faul sind". Es ist z.B. [mm] x^2+2x+1= [/mm] (x+1)(x+1) und weil ich faul bin schreib ich kurz
[mm] x^2+2x+1 [/mm] = [mm] (x+1)^2.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Sa 05.03.2005 | | Autor: | checker |
aber wenn ich zB eine kurve diskutiere, kann es doch sein, dass trotz klammern (also zerlegung) potenzen vorliegen, an welchen man ja zB erkennen kann, ob es vorzeichenwechsel gibt oder nicht....?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 So 06.03.2005 | | Autor: | deda |
Ich verstehe dein Problem gerade nicht.
Zum Vorzeichenwechsel aber mal dieses:
f(x) = [mm] (x-2)^4(x-3)^5.
[/mm]
Die Nullstellen sind 2 und 3. Die Vielfachheit der Nullstelle ist 2 ist 4 (wegen ^4), die Vielfachheit der Nullstelle 3 ist 5. Da die Vielfachheit der Nullstelle 2 eine gerade Zahl ist, weiß man, das der Graph der Funktion die x-Achse an dieser Stelle nur berührt, aber nicht schneidet. Es liegt also kein Vorzeichenwechsel vor. Da die Vielfachheit der Nullstelle 3 und ungerade Zahl ist, schneidet der Graph der Funktion die x-Achse an dieser Stelle. Wir haben hier also ein Vorzeichenwechsel.
Beantwortet dies deine Frage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 So 06.03.2005 | | Autor: | checker |
naja das ist jetzt ein wenig kompliziert... wie würde denn die linearfaktorzerlegung der funktion
[mm] x4^-4x3^-12x^2+32x+64 [/mm] aussehen?
(x-4) ( x+2) wohl nicht, oder?
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Hi, checker,
naja: fast. Lediglich die Exponenten fehlen, aber vielleicht ist das nur ein Eingabeproblem.
Ergebnis also: [mm] (x-4)^{2}*(x+2)^{2} [/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 06.03.2005 | | Autor: | checker |
achso, vielen dank, aber wie komme ich auf die exponenten bzw. wie bestimme ich sie?
und wie kann ich dann anhand der Lin-Fkt-Zerl. die Hoch, Tief und Wendepkte bestimmen? muss ich dann mit den ableitungen der ursprungfkt. arbeiten oder kann man das aus der LFZ ablesen?
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Hi, checker,
also am sichersten ist auch hier: Raten und anschließende Polynomdivision (PD). Problem hier: Nach dem ersten Raten (z.B. x=-2) und anschließender PD erhältst Du einen Term, der immer noch Grad 3 aufweist. Daher: Nochmals raten (wobei - wie Du siehst - auch durchaus dieselbe Lösung ein zweites Mal rauskommen kann) und nochmals PD.
Dann hast Du endlich einen Term 2. Grades, den Du auf "übliche Art" lösen kannst (Vieta, Mitternachtsformel, usw.).
Ausführlich geschrieben wäre Dein Term nun folgendermaßen:
(x+2)(x+2)(x-4)(x-4)
aber wie schon deda geschrieben hat: Der Mathematiker ist faul und schreibt's lieber so:
[mm] (x+2)^{2}*(x-4)^{2},
[/mm]
wobei man die Hochzahl als jeweilige "Vielfachheit" der Nullstelle bezeichnet. In Deinem Beispiel sind beide Nullstellen doppelt (2-fach)!
>
> und wie kann ich dann anhand der Lin-Fkt-Zerl. die Hoch,
> Tief und Wendepkte bestimmen? muss ich dann mit den
> ableitungen der ursprungfkt. arbeiten oder kann man das aus
> der LFZ ablesen?
>
Nun, da hilft Dir die Faktorzerlegung nicht immer!
Hier jedoch geht's ganz gut:
Doppelte (und übrigens auch 4-fache, 6-fache, 8-fache, ...Nullstellen) sind automatisch die x-Koordinaten von Extrempunkten, die auf der x-Achse liegen. Aus dem einigermaßen bekannten Verlauf einer Kurve 4. Grades mit positiver Konstante bei [mm] x^{4} [/mm] kannst Du sofort schließen: 2 Tiefpunkte
T1(-2;0), T2(4;0).
Weil beide dieselbe y-Koordinate haben, kannst Du wiederum sagen: Hochpunkt "genau in der Mitte dazwischen", also bei x=1.
Dessen y-Koordinate musst Du allerdings durch Einsetzen in den Funktionsterm noch ausrechnen: f(1)=81 (wow!)
Also: H(1; 81)
Für die Wendepunkte hilft Dir die Zerlegung eher nicht. Da würd' ich an Deiner Stelle lieber den üblichen Weg wählen: Originalterm 2-mal ableiten, 2.Ableitung =0 setzen, überprüfen, ob WP vorliegen: Weißt ja, was ich meine!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 So 06.03.2005 | | Autor: | checker |
siehe nächste frage
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 So 06.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Ne, ne, checker,
das ging nur hier so toll, weil der Funktionsterm sich angeboten hat!
Ansonsten löst man das mit der 1. Ableitung wie üblich!
Aber merk' Dir trotzdem:
Nullstellen mit gerader Vielfachheit sind automatisch und immer Extremstellen, also die x-Koordinaten von Hoch- oder Tiefpunkten!!!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 So 06.03.2005 | | Autor: | checker |
ok danke!!
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