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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Do 11.09.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Lösungen des LGS mit den Unbekannten x,y,z und w mit den in [mm] \IR [/mm] variierenden Paramtern [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta
[/mm]
[mm] \alpha x+\beta [/mm] y-z=1
x+z=3
[mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] y= [mm] \beta
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] z + [mm] \beta [/mm] w= [mm] \beta [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Also das ist eine Aufgabe welche isch gelöst habe, jedoch über das Ergebnis des Professors etwas unentschlossen bin.
Also zuerst bringe ich x in Ausdruck von z, x= 3-z
Eingesetzt in meine anderen 3 Gleichungen:
[mm] \beta*y+z*(-1-\alpha)=1-3*\alpha
[/mm]
[mm] \beta*y-\alpha*z= \beta -3*\alpha
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] z + [mm] \beta [/mm] w = [mm] \beta
[/mm]
Nun mit Gauss:
[mm] \beta [/mm] y + [mm] z*(-1-\alpha) [/mm] = [mm] 1-3*\alpha
[/mm]
[mm] -\beta*y [/mm] + [mm] \alpha*z=3*\alpha [/mm] - [mm] \beta
[/mm]
= -z = [mm] 1-\beta
[/mm]
[mm] \alpha* [/mm] (-z = [mm] 1-\beta)
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] z + [mm] \beta [/mm] w = [mm] \beta
[/mm]
= [mm] \beta [/mm] w = [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta*\alpha [/mm] + [mm] \beta
[/mm]
Nun meine Lösung war:
[mm] \beta [/mm] w = [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta*(\alpha [/mm] + 1)
für [mm] \beta=0 [/mm] habe ich folgendes:
0 = [mm] \alpha
[/mm]
Also habe ich keine Lösung für [mm] \alpha \not= [/mm] 0
Ich habe [mm] \infty^{1} [/mm] Lösungen für [mm] \beta [/mm] = 0 und [mm] \alpha [/mm] = 0
Und eine Lösung für [mm] \beta \not=0 (\exists! [/mm] := existiert eine Lösung, oder?)
Laut Lösung, hat das System aber mit [mm] \beta [/mm] = 0 und [mm] \alpha=0 [/mm] : [mm] \infty^{2} [/mm] Lösungen. Ich verstehe nicht wieso. Es müssten dann ja 2 Unbekannte durch einen Parameter ersetzt werden und damit das System gelöst werden. Aber hier ist doch nur der Fall wo wir 0*w=0 hatten.
Ich würde hier w=t mit t [mm] \in \IR [/mm] wählen und damit das System lösen, das ist aber nicht richtig. Wieso nicht?
Als Begründung wird angegeben, dass es 2 Paramter gibt. Aber wie gesagt, die Parameter [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] spielen hier doch keine Rolle mehr, da sie bereits gewählt wurden (sonst wäre ich ja nicht auf die Lösung [mm] \infty [/mm] gekommen)
Dankeschön
lg
Zuggel
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Erstmal die Randfrage: [mm]\exists![/mm] Bedeutet: Es existiert genau eine Lösung.
Ansonsten hat dein Professor Recht:
Wenn du [mm]\alpha = 0, \quad \beta = 0[/mm] in das Gleichungssystem einsetzt erhälst du:
[mm]-z=1[/mm]
[mm]x+z=3[/mm]
[mm]0=0[/mm]
[mm]0=0[/mm]
Also z = -1, x = 4. y und w können beliebig gewählt werden, da sie in den Gleichungen gar nicht mehr vorkommen.
Dein Fehler liegt darin, dass du dir nicht Gleichungen für alle Variablen aufgeschrieben hast, für y gilt ja nach deinem Gaussumformungsschritt:
[mm]\beta * y = 1 - 3 * \alpha + z (1 + \alpha)[/mm]
Ist [mm]\beta[/mm] nun aber 0, so ist y nicht durch diese Gleichung eindeutig bestimmt.
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