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LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 Do 06.05.2010
Autor: StevieG

Aufgabe
Seien [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{2} [/mm] n X n Matrizen und [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] Vektoren aus [mm] \IR^{n}. [/mm] Es sei angenommen, dass die LGS

[mm] A_{1}x [/mm] = [mm] b_{1} [/mm]
[mm] A_{2}x [/mm] = [mm] b_{2} [/mm]

jeweils eine eindeutige Lösung haben. Hat dann auch das LGS

[mm] (A_{1}+A_{2})x [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm] eine eindeutige Lösung?

[mm] A_{1}x [/mm] = [mm] b_{1} [/mm]

=> x = [mm] A_{1}^{-1}b_{1} [/mm]

[mm] A_{2}x [/mm] = [mm] b_{2} [/mm]

=> x = [mm] A_{2}^{-1}b_{2} [/mm]

[mm] A_{1} A_{1}^{-1}b_{1} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm]
[mm] A_{2} A_{2}^{-1}b_{2}= b_{2} [/mm]

ist dann auch:


[mm] (A_{1}+A_{2})x [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm]

[mm] A_{1} A_{1}^{-1}b_{1} [/mm]  + [mm] A_{2} A_{2}^{-1}b_{2} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] + [mm] b_{2} [/mm]

Kann das stimmen?

Lg

        
Bezug
LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Do 06.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo StevieG,

boah, mein Internet spinnt gerade ...

> Seien [mm]A_{1}[/mm] und [mm]A_{2}[/mm] n X n Matrizen und [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm]
> Vektoren aus [mm]\IR^{n}.[/mm] Es sei angenommen, dass die LGS
>  
> [mm]A_{1}x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
>  [mm]A_{2}x[/mm] = [mm]b_{2}[/mm]
>  
> jeweils eine eindeutige Lösung haben. Hat dann auch das
> LGS
>  
> [mm](A_{1}+A_{2})x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm] eine eindeutige Lösung?
>  [mm]A_{1}x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
>  
> => x = [mm]A_{1}^{-1}b_{1}[/mm] [ok]

Ja, warum gilt das?

Die Lösung eines inhomogenen LGS setzt sich zusammen aus einer Lösung des inhomogenen LGS und der Lösungsgesamtheit des homogenen LGS. [mm] $\mathbb{L}_{inh}=v+\mathbb{L}_{hom}$ [/mm]

Wenn das inhomogene LGS also eideutig Lösbar sein soll, muss das zugeh. homogene LGS eind. lösbar sein, dh. der Nullvektor ist dessen einzige Lösung und in [mm] $A_ix=b_i$ [/mm] ist [mm] $A_i$ [/mm] invertierbar ...

>  
> [mm]A_{2}x[/mm] = [mm]b_{2}[/mm]
>  
> => x = [mm]A_{2}^{-1}b_{2}[/mm]
>  
> [mm]A_{1} A_{1}^{-1}b_{1}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm]
>  [mm]A_{2} A_{2}^{-1}b_{2}= b_{2}[/mm] [ok]

Bis hierhin ...

>  
> ist dann auch:
>  
>
> [mm](A_{1}+A_{2})x[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] + [mm]b_{2}[/mm]
>  
> [mm]A_{1} A_{1}^{-1}b_{1}[/mm]  + [mm]A_{2} A_{2}^{-1}b_{2}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] +
> [mm]b_{2}[/mm]
>  
> Kann das stimmen?

Warum sollte das gelten.

Wenn das LGS [mm] $(A_1+A_2)x=b_1+b_2$ [/mm] eind. lösbar wäre, so wäre wieder der Nullvektor die einzige Lösung des zugeh. homogenen LGS [mm] $(A_1+A_2)x=0$ [/mm] und [mm] $(A_1+A_2)$ [/mm] wäre invetierbar.

Das folgt aber i.A. nicht aus der Invertierbarkeit der [mm] $A_i$ [/mm]

Suche ein einfaches Gegenbsp.

[mm] $\pmat{1&0\\0&1}x=\vektor{1\\1}$ [/mm]

[mm] $\pmat{0&1\\1&0}x=\vektor{1\\1}$ [/mm]

Beide sind eind. lösbar, wie siehts mit dem zu betrachtenden LGS aus?

Gruß

schachuzipus

>  
> Lg


Bezug
                
Bezug
LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Do 06.05.2010
Autor: StevieG

Matrix A und B addiert ergibt: [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] Diese Matrix hat den Rang 1, somit gibt es viele Lösungen für das LGS. Die erweiterte KoeffizientenMatrix : würde nach Anwendung der Gauß-Algorithmus

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } \to \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0} [/mm]

Dann gäbe es kein eindeutiges Ergebnis mehr.

Richtig?


Bezug
                        
Bezug
LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 06.05.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Matrix A und B addiert ergibt: [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> Diese Matrix hat den Rang 1, somit gibt es viele Lösungen
> für das LGS. Die erweiterte KoeffizientenMatrix : würde
> nach Anwendung der Gauß-Algorithmus
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 } \to \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>  
> Dann gäbe es kein eindeutiges Ergebnis mehr.

[daumenhoch]

So ist es!

>  
> Richtig?

Ja!

LG

schachuzipus

>  


Bezug
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