LGS - allround aufgabe < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 So 30.01.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | gegeben sei folgendes LGS:
[mm] \(x1-2x2+x3+2x4+x6
[/mm]
[mm] \(-2x2+x3+3x4=2
[/mm]
[mm] \(-x2-2x4+x5=-2
[/mm]
[mm] \(x1-x4+x6=-1
[/mm]
a)umformen in Matrixschreibweise, sowie als erweiterte koeffizientenmatrix
a2) bilden der transponierten matrix
b) homogen / inhomogen? kurz begründen & stellt nullvektor eine lösung dieses LGS dar?
c) wieviele lösungen besitzt das LGS
d) bestimmen sie die lösungsmenge |
hallo,
a)
[mm] \(x1-2x2+x3+2x4+x6
[/mm]
[mm] \(-2x2+x3+3x4=2
[/mm]
[mm] \(-x2-2x4+x5=-2
[/mm]
[mm] \(x1-x4+x6=-1
[/mm]
---> matrischreibweise
[mm] \(A=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }
[/mm]
---> erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] \(A|b=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 | 1 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 | 2 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 | -2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 |-1}
[/mm]
a2) [mm] \(A^T=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1\\ -2 & -2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
habe ich die normale miot der transponierten verwechselt ?
b) homogen = alle [mm] \(b=0 [/mm] . Hier ist kein einziges [mm] \(b=0, [/mm] also handelt es sich um ein inhomogenes LGS
was ist mit " stellt der nullvektor eine lösung dar" gemeint?
c) [mm] $\mbox{rank}(\mathsfbf{A}) [/mm] = [mm] \mbox{rank}(\mathsfbf{A},\mathsfbf{b}) [/mm] = n$
---> es gibt genau eine lösung.
bevors ans rechnen geht, würed ich mich freuen, wenn hier fehlertechnisch erstmal etwas ausgemerzt werden würde...
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> gegeben sei folgendes LGS:
>
> [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}
[/mm]
>
> [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
>
> [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
>
> [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
>
>
> a)umformen in Matrixschreibweise, sowie als erweiterte
> koeffizientenmatrix
>
> a2) bilden der transponierten matrix
>
> b) homogen / inhomogen? kurz begründen & stellt nullvektor
> eine lösung dieses LGS dar?
>
> c) wieviele lösungen besitzt das LGS
>
> d) bestimmen sie die lösungsmenge
> hallo,
>
> a)
>
> [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}
[/mm]
>
> [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
>
> [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
>
> [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
>
>
> ---> matrischreibweise
> [mm]\(A=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }[/mm]
Hallo,
was Du hier angibst, ist die Koeffizientenmatrix.
Deine Chefs wollen dies sehen:
[mm] $\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }$*\vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{1\\2\\-2\\-1}.
[/mm]
>
>
> ---> erweiterte Koeffizientenmatrix
>
> [mm]\(A|b=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 | 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 | 2 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 | -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 |-1}[/mm]
Ja.
>
>
> a2) [mm]\(A^T=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1\\
-2 & -2 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> habe ich die normale miot der transponierten verwechselt ?
Es ist richtig so, wie Du's hast.
>
>
>
> b) homogen = alle [mm]\(b=0[/mm] . Hier ist kein einziges [mm]\(b=0,[/mm]
> also handelt es sich um ein inhomogenes LGS.
Ja. Und auch wenn nur ein einziges [mm] b_i\not=0 [/mm] wäre, wäre das System inhomogen.
>
> was ist mit " stellt der nullvektor eine lösung dar"
> gemeint?
Ob Du mit [mm] \vektor{x_1\\\vvdots\\0}=\vektor{0\\\vdots\\0} [/mm] eine Lösung des Systems hast. (ob also [mm] x_1=...=x_6=0 [/mm] eine Lösung sit.)
>
> c) [mm]\mbox{rank}(\mathsfbf{A}) = \mbox{rank}(\mathsfbf{A},\mathsfbf{b}) = n[/mm]
>
> ---> es gibt genau eine lösung.
Ich weiß nicht genau, was Du hiermit meinst.
Es gilt dies:
wenn der rang von A und (A|b) gleich ist, ist das System lösbar, wenn er ungleich ist, ist das System nicht lösbar.
Wenn es lösbar ist, ist es
-eindeutig lösbar, wenn der Rang von A gleich der Anzahl der Spalten ist
-nicht eindeutig lösbar, wenn der Rang kleiner als die Spaltenzahl der Koeffizientenmatrix ist.
Gruß v. Angela
>
> bevors ans rechnen geht, würed ich mich freuen, wenn hier
> fehlertechnisch erstmal etwas ausgemerzt werden würde...
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:19 So 30.01.2011 | | Autor: | m4rio |
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> > gegeben sei folgendes LGS:
> >
> > [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}[/mm]
> >
> > [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
> >
> > [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
> >
> > [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
> >
> >
> > a)umformen in Matrixschreibweise, sowie als erweiterte
> > koeffizientenmatrix
> >
> > a2) bilden der transponierten matrix
> >
> > b) homogen / inhomogen? kurz begründen & stellt nullvektor
> > eine lösung dieses LGS dar?
> >
> > c) wieviele lösungen besitzt das LGS
> >
> > d) bestimmen sie die lösungsmenge
> > hallo,
> >
> > a)
> >
> > [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}[/mm]
> >
> > [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
> >
> > [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
> >
> > [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
> >
> >
> > ---> matrischreibweise
> > [mm]\(A=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> was Du hier angibst, ist die Koeffizientenmatrix.
>
> Deine Chefs wollen dies sehen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }[/mm][mm] *\vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{1\\2\\-2\\-1}.[/mm]
>
> >
> >
> > ---> erweiterte Koeffizientenmatrix
> >
> > [mm]\(A|b=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 | 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 | 2 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 | -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 |-1}[/mm]
>
> Ja.
>
> >
> >
> > a2) [mm]\(A^T=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1\\
-2 & -2 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> >
> > habe ich die normale miot der transponierten verwechselt ?
>
> Es ist richtig so, wie Du's hast.
>
> >
> >
> >
> > b) homogen = alle [mm]\(b=0[/mm] . Hier ist kein einziges [mm]\(b=0,[/mm]
> > also handelt es sich um ein inhomogenes LGS.
>
> Ja. Und auch wenn nur ein einziges [mm]b_i\not=0[/mm] wäre, wäre
> das System inhomogen.
>
> >
super, bis dahin alles roger...
> > was ist mit " stellt der nullvektor eine lösung dar"
> > gemeint?
>
> Ob Du mit [mm]\vektor{x_1\\\vvdots\\0}=\vektor{0\\\vdots\\0}[/mm]
> eine Lösung des Systems hast. (ob also [mm]x_1=...=x_6=0[/mm] eine
> Lösung sit.)
>
hmm, wenn ich alle Unbekannten = null setze, erhalte ich zum schluss doch eine falsche Aussage... kann es sein, dass der Nullvektor nur bei homogenen LGS eine Lösung darstellt...
> >
> > c) [mm]\mbox{rank}(\mathsfbf{A}) = \mbox{rank}(\mathsfbf{A},\mathsfbf{b}) = n[/mm]
> >
> > ---> es gibt genau eine lösung.
>
> Ich weiß nicht genau, was Du hiermit meinst.
>
> Es gilt dies:
>
> wenn der rang von A und (A|b) gleich ist, ist das System
> lösbar, wenn er ungleich ist, ist das System nicht
> lösbar.
>
> Wenn es lösbar ist, ist es
> -eindeutig lösbar, wenn der Rang von A gleich der Anzahl
> der Spalten ist
> -nicht eindeutig lösbar, wenn der Rang kleiner als die
> Spaltenzahl der Koeffizientenmatrix ist.
>
ok, meinte mit der gleichung [mm]\mbox{rank}(\mathsfbf{A}) = \mbox{rank}(\mathsfbf{A},\mathsfbf{b}) = n[/mm] ,
wenn der Rang von [mm] \(A [/mm] & [mm] \((A|b) [/mm] jeweils voll ist, gibt es eine Lösung... was hier der fall wäre... werde mir das im skript allerdings nochmal genauer ansehen.
> Gruß v. Angela
>
>
> >
> > bevors ans rechnen geht, würed ich mich freuen, wenn hier
> > fehlertechnisch erstmal etwas ausgemerzt werden würde...
>
super, nun zum rechnen...
I [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}[/mm] / - IV
II [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
III [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
IV [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
I [mm]\(-2x2+x3+3x4[/mm][mm] \red{=2}[/mm] / - II
II [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
III [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
IV [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
I [mm] \(0=0
[/mm]
hmmm, sagt mir dieses ergebnis, dass das LGS genau eine Lösung hat, habe ich mich völlig verrechnet?
wäre ja schön und gut wenn es richtig ist, aber wie komme ich nun an die [mm] \(x1-x6 [/mm] Werte :/
außerdem nochmal vielen dank für die ganze Hilfe!! wirklich ein wundervolles forum :D
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> >
> > > gegeben sei folgendes LGS:
> > >
> > > [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
> > >
> > > [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
> > >
> > > [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
> > >
> > >
> > > a)umformen in Matrixschreibweise, sowie als erweiterte
> > > koeffizientenmatrix
> > >
> > > a2) bilden der transponierten matrix
> > >
> > > b) homogen / inhomogen? kurz begründen & stellt nullvektor
> > > eine lösung dieses LGS dar?
> > >
> > > c) wieviele lösungen besitzt das LGS
> > >
> > > d) bestimmen sie die lösungsmenge
> > > hallo,
> > >
> > > a)
> > >
> > > [mm]\(x1-2x2+x3+2x4+x6[/mm][mm] \red{=1}[/mm]
> > >
> > > [mm]\(-2x2+x3+3x4=2[/mm]
> > >
> > > [mm]\(-x2-2x4+x5=-2[/mm]
> > >
> > > [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
> > >
> > >
> > > ---> matrischreibweise
> > > [mm]\(A=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> >
> > Hallo,
> >
> > was Du hier angibst, ist die Koeffizientenmatrix.
> >
> > Deine Chefs wollen dies sehen:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 }[/mm][mm] *\vektor{x_1\\
\vdots\\
x_6}=\vektor{1\\
2\\
-2\\
-1}.[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > ---> erweiterte Koeffizientenmatrix
> > >
> > > [mm]\(A|b=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1 | 1 \\
0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0 | 2 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 | -2 \\
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 |-1}[/mm]
>
> >
> > Ja.
> >
> > >
> > >
> > > a2) [mm]\(A^T=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 1\\
-2 & -2 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > habe ich die normale miot der transponierten verwechselt ?
> >
> > Es ist richtig so, wie Du's hast.
> >
> > >
> > >
> > >
> > > b) homogen = alle [mm]\(b=0[/mm] . Hier ist kein einziges [mm]\(b=0,[/mm]
> > > also handelt es sich um ein inhomogenes LGS.
> >
> > Ja. Und auch wenn nur ein einziges [mm]b_i\not=0[/mm] wäre, wäre
> > das System inhomogen.
> >
> > >
>
> super, bis dahin alles roger...
>
>
>
>
> > > was ist mit " stellt der nullvektor eine lösung dar"
> > > gemeint?
> >
> > Ob Du mit [mm]\vektor{x_1\\
\vvdots\\
x_6}=\vektor{0\\
\vdots\\
0}[/mm]
> > eine Lösung des Systems hast. (ob also [mm]x_1=...=x_6=0[/mm] eine
> > Lösung ist.)
> >
>
> hmm, wenn ich alle Unbekannten = null setze, erhalte ich
> zum schluss doch eine falsche Aussage...
Hallo,
ja.
> kann es sein, dass
> der Nullvektor nur bei homogenen LGS eine Lösung
> darstellt...
Ja, so ist es.
Zum Nachrechnen fehlt mir heute abend der Nerv.
Nur ein Hinweis: sieh zu, daß Du den Gauß-Algorithmus in Matrixform lernst, also LGSe lösen kannst, indem Du die erweiterte Koeffizientenmatrix auf (reduzierte) ZSF bringst.
Erstens erwartet man von Dir, daß Du das kannst, und zweitens spart es viel Schreibarbeit.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 30.01.2011 | | Autor: | m4rio |
ok, ahbe das ganze nochmal in matrixform nachgerechnet
und tatsächlich die eine Zeile komplett auf 0 gebracht.
des weiteren erhielt ich folgende gleichungen
[mm] \(x1-x4+x6=-2
[/mm]
[mm] \(x2+2x4-x5=2
[/mm]
[mm] \(-x2+x3+3x4=2
[/mm]
hmm, wüsste nciht, wie ich jetzt die einzelnen x werte bestimmen könnte
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| Aufgabe | [mm] \(x1-2x2+x3+2x4+x6 [/mm]=1
[mm] \(-2x2+x3+3x4=2 [/mm]
[mm] \(-x2-2x4+x5=-2 [/mm]
[mm] \(x1-x4+x6=-1 [/mm] |
>
> [mm]\(x1-x4+x6=-2[/mm]
>
> [mm]\(x2+2x4-x5=2[/mm]
>
> [mm]\(-x2+x3+3x4=2[/mm]
Du hast den Gauß-Algorithmus nicht bis zum Ende durchgeführt.
Du kannst doch in der dritten Gleichung eine weitere Variable, sinnigerweise [mm] x_2, [/mm] verschwinden lassen.
Die letzte Zeile lautet dann
[mm] x_3+5x_4-x_5=4.
[/mm]
> hmm, wüsste nciht, wie ich jetzt die einzelnen x werte
> bestimmen könnte
Nun kannst Du in der 1. Gleichung [mm] x_1, [/mm] in der 2. Gleichung [mm] x_2 [/mm] und in der 3. das [mm] x_3 [/mm] freistellen.
[mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] hängen von x_4und [mm] x_5 [/mm] ab. Letztere können frei gewählt werden.
Alle Lösungen des Systems haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5}=\vektor{...\\...\\...\\x_4\\x_5}=\vektor{...\\...\\...\\...\\...} [/mm] + [mm] x_4*\vektor{...\\...\\...\\...\\...}+x_5*\vektor{...\\...\\...\\...\\...},\quad\qquad x_4,x_5\in \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S:
Nochmal mein Rat: übe es, die erweiterte Koeffizientenmatrix korrekt in reduzierte Zeilenstufenform zu bringen. Aus dieser kann man zack, zack auf einen Blick alles ablesen, was man wissen möchte.
Wenn Du es kannst und nur zu bequem zum Matrixtippen bist, dann habe ich allerdings nichts gesagt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
hallo, habe es nochmal in ordentlicher schreibweise notiert...
außerdem habe ich nen paar andere werte raus..
[mm] \vmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1|1 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0|2 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1}
[/mm]
rechenoperationen
/ I -IV / I - II
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0|2 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1}
[/mm]
/ tausch I & IV / II/(-2) --> /II + III
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 0 & \bruch{-1}{2} & \bruch{-3}{2} & 1 & 0|-3 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }
[/mm]
/II*(-2) /III*(-1) /tausch II & III
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & 0|6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0|2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }
[/mm]
/tausch II & III
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0|2 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & 0|6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }
[/mm]
hätte dann folgende gleichungen:
I [mm] \(x1-x4+x6=-1
[/mm]
II [mm] \(x2+2x4-x5=2
[/mm]
III [mm] \(x3+6x4-2x5=6
[/mm]
jetzt nach x1,x2,x3 umstellen
[mm] \(x1=x4-x6-1
[/mm]
[mm] \(x2=-2x4+x5+2
[/mm]
[mm] \(x3=-6x4+2x5+6
[/mm]
was mache ich nun hiermit ? umnd woher weiss ich, dass [mm] \(x1,x2,x3 [/mm] von [mm] \(x4 [/mm] & [mm] \(x5 [/mm] abhängen?
was ist mit [mm] \(x6 [/mm] ?
ach ja, habe mir heute die musterlösung besorgt, ersten teil habe ich richtig zu haben, nur leider sieht mir der rest äußerst suspekt aus...
[mm] \IL= \{\(x \in \IR^6 : \(x= \vektor{-1 \\ 2 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+\(M\vektor{1 \\ -2 \\ -7 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+\delta\vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \\1},\(M , \lambda , \delta \in \IR \}
[/mm]
gruß
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Hallo m4rio,
> hallo, habe es nochmal in ordentlicher schreibweise
> notiert...
> außerdem habe ich nen paar andere werte raus..
> [mm]\vmat{ 1 & -2 & 1 & 2 & 0 & 1|1 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0|2 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1}[/mm]
>
> rechenoperationen
> / I -IV / I - II
>
> [mm]\vmat{ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 \\ 0 & -2 & 1 & 3 & 0 & 0|2 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1}[/mm]
>
> / tausch I & IV / II/(-2) --> /II + III
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 0 & \bruch{-1}{2} & \bruch{-3}{2} & 1 & 0|-3 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }[/mm]
Diese Zahl stimmt nicht:
[mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 0 & \bruch{-1}{2} & \red{\bruch{-3}{2}} & 1 & 0|-3 \\ 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0|-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }[/mm]
>
> /II*(-2) /III*(-1) /tausch II & III
>
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & 0|6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0|2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }[/mm]
>
>
> /tausch II & III
>
>
> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0|2 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & -2 & 0|6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0 }[/mm]
>
>
> hätte dann folgende gleichungen:
>
> I [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
>
> II [mm]\(x2+2x4-x5=2[/mm]
>
> III [mm]\(x3+6x4-2x5=6[/mm]
>
>
> jetzt nach x1,x2,x3 umstellen
>
> [mm]\(x1=x4-x6-1[/mm]
>
> [mm]\(x2=-2x4+x5+2[/mm]
>
> [mm]\(x3=-6x4+2x5+6[/mm]
>
> was mache ich nun hiermit ? umnd woher weiss ich, dass
> [mm]\(x1,x2,x3[/mm] von [mm]\(x4[/mm] & [mm]\(x5[/mm] abhängen?
>
> was ist mit [mm]\(x6[/mm] ?
>
>
>
>
> ach ja, habe mir heute die musterlösung besorgt, ersten
> teil habe ich richtig zu haben, nur leider sieht mir der
> rest äußerst suspekt aus...
>
>
> [mm]\IL= \{\(x \in \IR^6 : \(x= \vektor{-1 \\ 2 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \\ 0}+\(M\vektor{1 \\ -2 \\ -7 \\ 1 \\ 0 \\ 0}+\lambda\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \\ 0}+\delta\vektor{-1 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \\1},\(M , \lambda , \delta \in \IR \}[/mm]
>
> gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
ok, dann hätte ich
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0|2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & -2 & 0|6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0}
[/mm]
---> [mm] \(x1-x4+x6=-1
[/mm]
[mm] \(x2+2x4-x5=2
[/mm]
[mm] \(x3+7x4-2x5
[/mm]
wie soll ich jetzt bitte auf das gegeben ergebnis kommen?
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> ok, dann hätte ich
>
> [mm]\pmat{ \red{1 }& 0 & 0 & -1 & 0 & 1|-1 \\
0 &\red{ 1} & 0 & 2 & -1 & 0|2 \\
0 & 0 & \red{1} & 7 & -2 & 0|6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0|0}[/mm]
Hallo,
wenn Du diese reduzierte Zeilenstufenform vorliegen hast, dann kannst Du so vorgehen:
die führenden Zeilenelemente sind in den Spalten 1,2,3.
Also kann man die 4., 5., 6. Variable frei wählen.
>
> ---> [mm]\(x1-x4+x6=-1[/mm]
>
> [mm]\(x2+2x4-x5=2[/mm]
>
> [mm]\(x3+7x4-2x5[/mm]=6
Stelle in der ersten Gleichung [mm] x_1 [/mm] frei, in der zweiten [mm] x_2 [/mm] und in der dritten [mm] x_3.
[/mm]
Weiter geht's so, wie ich es heute schonmal geschildert habe:
die Lösungen [mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6} [/mm] haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6}=\vektor{-1+x_4-x_6\\...\\...\\x_4\\x_5\\x_6}
[/mm]
[mm] =\vektor{-1\\...\\...\\0\\0\\0}+ x_4*\vektor{1\\...\\...\\1\\0\\0} +x_5*\vektor{0\\...\\...\\0\\1\\0} [/mm] + [mm] x_6*\vektor{-1\\...\\...\\0\\0\\1}
[/mm]
Andere, kochrezeptartige Vorgehensweise, ausgehend von der reduzierten(!) ZSF:
[mm]\pmat{ \red{1 }& 0 & 0 & -1 & 0 & 1&|-1 \\
0 &\red{ 1} & 0 & 2 & -1 & 0&|2 \\
0 & 0 & \red{1} & 7 & -2 & 0&|6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0&|0}[/mm]
Nimm die Nullzeilen heraus:
[mm]\pmat{ \red{1 }& 0 & 0 & -1 & 0 & 1&|-1 \\
0 &\red{ 1} & 0 & 2 & -1 & 0&|2 \\
0 & 0 & \red{1} & 7 & -2 & 0&|6 }[/mm]
Ergänze die Matrix mit Hilfszeilen zu einer quadratischen Matrix,
schiebe dafür Zeilen mit Nullen und einer -1 so ein, daß dort, wo man kein führendes Zeilenelement hat, eine -1 auf der Hauptdiagonalen steht:
[mm] \pmat{ \red{1 }& 0 & 0 & -1 & 0 & 1&|-1 \\ 0 &\red{ 1} & 0 & 2 & -1 & 0&|2 \\ 0 & 0 & \red{1} & 7 & -2 & 0&|6\\\green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{-1}&\green{0}&\green{0}&|\green{0}\\ \green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{-1}&\green{0}&|\green{0}\\\green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{0}&\green{-1}&|\green{0}},
[/mm]
Die Spalten, in denen eine der eingefügten -1 steht, bilden eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems,
rechts steht eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems.
Alle Lösungsvektoren haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\\vdots\\x_6}= [/mm] spezielle Lösung + r*Spalte 4 + s*Spalte 5 + t*Spalte 6, [mm] \qquad r,s,t\in \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 So 06.02.2011 | | Autor: | m4rio |
hallo,
wieso bildet man denn eigentlich die basis mit [mm] \(-1 [/mm] ? und wieso wird sie in der lösung dann zu [mm] \(+1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
weil man lieber pos zahlen hat, die negativen wären genausogut.
wenn [mm] v_i [/mm] eineVektor einer Basis ist dann ist auch [mm] r*v_i [/mm] einer und eben auch [mm] -v_i [/mm] einer.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:54 Mo 31.01.2011 | | Autor: | m4rio |
super, ein tolles Rezept... denke ich habs verstanden, werde es mir morgen nochmal in ruhe verinnerlichen... bis dahin, vielen dank für die klassse antwort(en)!!
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