LGS Lösen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Mi 25.03.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Ich versuche eine Min/Max Aufgabe mit Lagrange zu lösen. Dabei habe ich folgendes LGS aufgestellt und weiß nun nicht wie ich das weiter auflösen soll.
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Das LGS:
[mm] \partial_x=y-1+2\lambda [/mm] x
[mm] \partial_y=x+1+2\lambda [/mm] y
[mm] \partial_\lambda=x^2+y^2-4
[/mm]
1. [mm] y-1+2\lambda [/mm] x=0 *y
2. [mm] x+1+2\lambda [/mm] y=0 *x
3. [mm] x^2+y^2-4=0
[/mm]
=>
1. [mm] y^2-y+2\lambda [/mm] xy=0
2. [mm] x^2+x+2\lambda [/mm] xy=0 -
3. [mm] x^2+y^2-4=0
[/mm]
=>
1. [mm] y^2-y+2\lambda [/mm] xy=0
2. [mm] y^2-y-x^2+x=0
[/mm]
3. [mm] x^2+y^2-4=0
[/mm]
Und jetzt? irgendwie kann man das immer noch nicht auflösen. Wenn ich Zeile 2 so sortiere das auf jeder Seite nur x und y stehen könnte man vll. mit Quadr. Ergänzung jeweils weitermachen?!
Zeile 2: [mm] y^2-x^2-y-x [/mm] =0
[mm] y^2-y=x^2+x
[/mm]
Geht das überhaupt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Mi 25.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde versuchen, das in Etappen zu lösen:
1. $ [mm] y-1+2\lambda [/mm] $ x=0
2. $ [mm] x+1+2\lambda [/mm] $ y=0
3. $ [mm] x^2+y^2-4=0 [/mm] $
Aus 1 und 2 folgt:
[mm] \vmat{y-1+2\lambda*x=0\\x+1+2\lambda*y=0}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{2\lambda*x+y=1\\x+2\lambda*y=-1}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{2\lambda*x+y=1\\2\lambda*x+4\lambda²*y=-2\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{2\lambda*x+y=1\\(1-4\lambda²)*y=1+2\lambda}
[/mm]
[mm] \gdw\vmat{2\lambda*x+y=1\\y=\bruch{1+2\lambda}{1-4\lambda²}}
[/mm]
Also [mm] y=\bruch{1+2\lambda}{1-4\lambda²}=\bruch{1+2\lambda}{(1+2\lambda)(1-2\lambda)}=\bruch{1}{1-2\lambda}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] 2\lambda*x+\bruch{1}{1-2\lambda}=1
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{1-\bruch{1}{1-2\lambda}}{2\lambda}
[/mm]
Das ganze kann man jetzt in die Quadratische 3.Gleichung einsetzen, also:
[mm] x^2+y^2-4=0
[/mm]
[mm] \gdw \left(\bruch{1-\bruch{1}{1-2\lambda}}{2\lambda}\right)^{2}-\left(\bruch{1}{1-2\lambda}\right)^{2}=4
[/mm]
Daraus kann man dann das [mm] \lambda [/mm] bestimmen.
Marius
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