LGS Lösungsmenge, Geometrie < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems und deuten Sie diese Menge geometrisch.
a)
1 [mm] x_{1} [/mm] +4 [mm] x_{2} [/mm] = 2
3 [mm] x_{1} [/mm] +5 [mm] x_{2} [/mm] = 7
b)
2 [mm] x_{1} [/mm] + 4 [mm] x_{2} [/mm] = 2
3 [mm] x_{1} [/mm] + 6 [mm] x_{2} [/mm] = 3
5 [mm] x_{1} [/mm] + 10 [mm] x_{2} [/mm] = 5
c)
1 [mm] x_{1} [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] + 3 [mm] x_{3} [/mm] = 4
2 [mm] x_{1} [/mm] + 4 [mm] x_{2} [/mm] + 6 [mm] x_{3} [/mm] = 10 |
Hallo,
Hab eine etwas ungewöhnliche Frage zur Aufgabe a). Habe [mm] x_{1} [/mm] , [mm] x_{2} [/mm] mit Hilfe des Gau'schen Eleminationsvefahrens gelöst.
[mm] x_{1} [/mm] = -1/7
[mm] x_{2} [/mm] = 18/7
So würde ich es auch als Lösung schreiben, aber in der Lösung vom Prof. steht es so :
[mm] \{\bruch{1}{7}\vektor{18 \\ -1} \}, [/mm] ein Punkt im [mm] R^2
[/mm]
Bin etwas weiter als unsere Vorlesung, hatte deshalb dieses Thema noch nicht auf FH Niveau. Kann mir bitte jemand erklären, wie man auf die Lösung vom Prof. kommt?
Gruß Dra
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Hallo
[mm] x_1+4x_2=2 [/mm] mulitipliziere mit (-3)
[mm] 3x_1+5x_2=7
[/mm]
[mm] -3x_1-12x_2=-6
[/mm]
[mm] 3x_1+5x_2=7
[/mm]
beide Gleichungen addieren
[mm] -7x_2=1
[/mm]
[mm] x_2=-\bruch{1}{7}
[/mm]
[mm] x_1=\bruch{18}{7}
[/mm]
du bekommst somit den Schnittpunkt [mm] (\bruch{18}{7};-\bruch{1}{7})
[/mm]
ihr habt euch beide verrechnet
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
Habe doch das selbe raus, nur hab es anstatt [mm] -\bruch{1}{7} [/mm] einfach -1/7 geschrieben. In der Lösung steht es halt als Vektor im [mm] R^2 [/mm] mit der länge [mm] \bruch{1}{7}. [/mm] Verstehe nicht, wie man darauf kommen soll.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> danke für die schnelle Antwort.
> Habe doch das selbe raus, nur hab es anstatt [mm]-\bruch{1}{7}[/mm]
> einfach -1/7 geschrieben.
Nein, Du hast:
$ [mm] x_{1} [/mm] $ = -1/7
$ [mm] x_{2} [/mm] $ = 18/7
Es ist aber
[mm] x_1=18/7
[/mm]
[mm] x_2=-1/7
[/mm]
Dein Prof hat
[mm] \vektor{x_1\\ x_2}= \bruch{1}{7}\vektor{18 \\ -1} [/mm]
Das ist nur eine andere Schreibweise für
[mm] x_1=18/7
[/mm]
[mm] x_2=-1/7
[/mm]
FRED
> In der Lösung steht es halt als
> Vektor im [mm]R^2[/mm] mit der länge [mm]\bruch{1}{7}.[/mm] Verstehe nicht,
> wie man darauf kommen soll.
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
Stecke nun bei b) fest. Egal was ich mache, es kommt immer 0 0 = 0 raus. Es wird immer die ganze Zeile eleminiert. Hab schon versucht die Erste gleichung nach [mm] x_{1} [/mm] umzustellen und dann in die 2. Gleichung einzusetzen, aber da kommt einfach 3=3 raus, eine wahre Aussage dir mir aber so direkt nichts bringt. Könnt ihr mir bitte ein Lösungsansatz nennen?
Gruß
b)
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] = 2
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 6x_{2} [/mm] = 3
[mm] 5x_{1} [/mm] + [mm] 10x_{2} [/mm] = 5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 25.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Stecke nun bei b) fest. Egal was ich mache, es kommt immer
> 0 0 = 0 raus. Es wird immer die ganze Zeile eleminiert. Hab
> schon versucht die Erste gleichung nach [mm]x_{1}[/mm] umzustellen
> und dann in die 2. Gleichung einzusetzen, aber da kommt
> einfach 3=3 raus, eine wahre Aussage dir mir aber so direkt
> nichts bringt. Könnt ihr mir bitte ein Lösungsansatz
> nennen?
>
> Gruß
>
> b)
>
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] = 2
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]6x_{2}[/mm] = 3
> [mm]5x_{1}[/mm] + [mm]10x_{2}[/mm] = 5
Du kannst mit einer passenden Division alle drei Gleichungen zu der Form [mm] x_{1}+2x-{2}=1 [/mm] überführen.
Daher sind alle drei Gleichungen äquivalent zueinander, das Gleichungssystem hat also onendlich viele Lösungen, mämlich alle [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] für die Gilt [mm] x_{1}+2x_{2}=1
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 25.04.2013 | | Autor: | DragoNru |
Ok danke,
Die Form
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] = 1
ist schnell gemacht, aber die Lösung ist
[mm] \{ \vektor{1 \\ 0} + \lambda \vektor{-2 \\ 1} | \lambda \in R \}, [/mm] eine Gerade im [mm] R^2
[/mm]
Heißt das jetzt, das alle Lösungen, von denen du sprichst, auf einer Geraden liegen und diese Gerade so beschrieben werden kann?
Gruß
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> Ok danke,
>
> Die Form
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] = 1
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> ist schnell gemacht, aber die Lösung
Hallo,
in der Lösungsmenge liegen also alle [mm] \vektor{x_1\\x_2}, [/mm] die so macht sind, daß [mm] x_1+x_2=1 [/mm] gilt.
Man kann etwa [mm] x_2 [/mm] beliebig wählen,
[mm] x_2=\lambda [/mm] mit [mm] \lambda\in \IR [/mm] beliebig, und muß es dann bloß so organisieren, daß
[mm] x_1=1-2x_2=1-2\lambda.
[/mm]
Die Lösungsvektoren haben also die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2}=\vektor{1-2\lambda\\\lambda}=\vektor{1\\0}+\lambda{-2\\1}.
[/mm]
Also ist die Lösungsmenge L die Menge
L:= [mm] \{\vektor{1\\0}+\lambda{-2\\1}|\lambda\in \IR\}.
[/mm]
Dies ist, wie Du richtig feststellst, eine Gerade im [mm] \IR^2.
[/mm]
> ist
>
> [mm]\{ \vektor{1 \\ 0} \lambda \vektor{-2 \\ 1} | \lambda \in R \},[/mm]
> eine Gerade im [mm]R^2[/mm]
>
> Heißt das jetzt, das alle Lösungen, von denen du
> sprichst, auf einer Geraden liegen und diese Gerade so
> beschrieben werden kann?
Ja.
LG Angela
>
> Gruß
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