LGS aufstellen < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Di 17.02.2009 | | Autor: | julmarie |
| Aufgabe | edelstahl is eine legierung aus eisen, chrom und nickel; z.B. besteht 18/10 stahl aus 72%eisen, 18% chrom und 10% nickel. aus den legierungen A,B,C soll unter zuhilfe von möglichst wenig nickel (D) eine tonne 18/10 stahl herrgestellt werden.
und die tabelle lautet A B C D
eisen 70% 74% 78% 0%
chrom 22% 18% 15% 0%
nickel 8% 8% 7% 100%
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ich muss jetzt ein LGS aufstellen, weiß aber nicht wie..
ich hab die Gleichungen:
1) 70x+22y+8z = ?
2) 74x+18y+8z= ?
3) 78x+15y+7z=?
4) 0x+0y+100z= ?
Wäre das bis jetzt so richtig? Und was sind die Ergbnisse der Gleichungen?
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte oder einen Tipp parat hätte..
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Hallo,
zunächst ein Tipp:
der erste wichtige Schritt ist, dass du dir klar machst, wofür deine Variablen x, y und z stehen sollen (und wie viele Variablen du eigentlich brauchst).
Hier hast du 4 Legierungen gegeben und sollst daraus eine fünfte Legierung zusammenmischen. Die Frage ist doch, wie viel du jeweils von den 4 gegebenen Legierungen nehmen musst. Also suchst du hier:
a: Anteil der Legierung A
b: Anteil der Legierung B
c: Anteil der Legierung C
d: Anteil der Legierung D
Für jedes Material der Legierungen bekommst du jetzt eine Bedingung (Gleichung):
z.B. für Eisen
0,7a + 0,74b + 0,78c + 0d = 0,72
So bekommst du also nur drei Gleichungen für die 4 Unbekannten, sprich: vermutlich gibt es unendlich viele Lösungen.
Im letzten Schritt suchst du dann die Lösung von diesen unendlich vielen, bei der d (= der Anteil der Legierung D) möglichst klein ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 17.02.2009 | | Autor: | julmarie |
Also lauten die Formel:
0.7a +0.74b+0.78c+0d = 0.72
0.22a+0.18b+0.15c+0d = 0.18
0.08a+0.08b+0.07c+100d= 0.10
und wenn ich nur ABC benutze dann:
0.7a +0.74b+0.78c = 0.72
0.22a+0.18b+0.15c = 0.18
0.08a+0.08b+0.07c = 0.10
aber wie kann ich jetzt berechnen und mit einbeziehen, dass ich möglichst wenig Nickel benutze??
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Du kannst die Legierung D nicht einfach weglassen - du löst einfach ein LGS mit drei Gleichungen und 4 Variablen (wie du das immer machst). Da wird es aber keine eindeutige Lösung geben, sondern unendlich viele, z.B. steht dann (nach den üblichen Umformungen der Gleichungen) so etwas wie:
6x + 2y = 4
Dann kannst du eine Variable frei wählen (z.B. x) und erst dann sind alle anderen festgelegt. Hier wäre dann y = 2-3x, d.h. wenn du für x eine Zahl einsetzt, ist auch y eindeutig festgelegt.
Es wird also unendlich viele Möglichkeiten geben, diese gewünschte Legierung herzustellen. Und dabei wird es eine Möglichkeit geben, bei der man eben am wenigsten von Legierung D benutzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Di 17.02.2009 | | Autor: | julmarie |
Achso ok... aber wie berechne ich es denn, dass Nickel möglichst gering ist?? acuh wenn ich nur 4x+y rausbekomme?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Di 17.02.2009 | | Autor: | julmarie |
Also ich hab jetzte für
a= b + (7/8)c + 1250 d - (4/5)
b= (54/49) - (111/49)a
c= (12/13) - (35/39) a - (37/39)b
kann ich noch weiter auflösen? und wie bekomme ich jetzt raus as möglichst wenig Nickel verwendet werden wird??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast eine Gleichung vergessen. insgesamt soll das ja 1t geben.
Die Gleichung kommt noch dazu.
damit hast du insgesamt 4 gleichungen mit 4 unbekannten.
manchmal gibts dafuer genau eine Loesung, dann ist darin die kleinste menge d schon festgelegt, oder es gibt mehrere loesungen, dann kannst du d noch aussuchen.
Das GS loesest du am besten mit dem Additionsverfahren.
Kennst du das?
Deine Gleichungen sind noch weit von volstaendig aufgeloest.
Gruss leduart.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 17.02.2009 | | Autor: | julmarie |
also die 4te wäre dann a+b+c+d = 1000 ?
Kann ich für d nicht einfach 0 oder 1 einsetzen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Di 17.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
so wie deine anderen Gleichungen (ohne kg) aufgestellt sind gilt:
a+b+c+d=1 sonst musst du auch alle deine anderen Gleichungen mit den 1000kg rechnen.
Und nein, woher willst du wissen, dass es ohne d ueberhaupt geht? also d=0 oder gerade mit d=1kg.
Gruss leduart
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Mit den entsprechenden Bezeichnungen a,b,c,d für die Anteile bekommt man nach Umformungen folgendes:
a - 73,5 d = -1,5
b + 166,5d = 4,5
c - 92d = -2
0 = 0
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Da a,b,c,d Anteile sind, müssen sie zwischen 0 und 1 liegen. Im Rahmen dieser einschränkenden Bedingung kannst du d jetzt frei wählen.
Beispiel: Du nimmst d = 0, dann müsste c = -2 sein, was ja nicht geht, weil auch c zwischen 0 und 1 liegen muss.
Aus jeder der drei obigen Gleichungen bekommst du damit eine Einschränkung für d.
Beispiel:
Für c = -2 + 92d muss gelten:
0 < -2 + 92d < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 < 92d < 3
[mm] \Rightarrow \bruch{2}{92} [/mm] < d < [mm] \bruch{3}{92}
[/mm]
Wenn du das für alle Gleichungen machst, kannst du feststellen, wie klein das d im extremsten Fall sein darf, denn du musst ja ein d finden, das dann alle diese Einschränkungen erfüllt.
Anmerkung: Die obigen Gleichungen bekommst du z.B. unter Verwendung des Gauß-Verfahrens.
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