LGS aus Lösungsmenge bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien $a = (1,5,7,2)$ und $U = [mm] \left<(0,1,1,1),(1,0,1,-1)\right> \subseteq \IR^4$. [/mm] Geben Sie ein LGS mit 4 Unbekannten und möglichst wenigen Gleichungen an, sodass der affine Teilraum $a + U$ genau die Lösungsmenge des LGS ist. |
Hallo zusammen,
hänge gerade an jener Aufgabe und weiß nicht so recht weiter. Ich weiß, dass die Lösungsmenge $L(A,b) = [mm] \{(1,5,7,2)+\lambda(0,1,1,1)+\mu(1,0,1,-1) | \lambda,\mu \in \IR\}$ [/mm] ist, also eine Ebene.
Wie kann ich jetzt am einfachsten verfahren?
Grüße
Joe
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> Seien [mm]a = (1,5,7,2)[/mm] und [mm]U = \left<(0,1,1,1),(1,0,1,-1)\right> \subseteq \IR^4[/mm].
> Geben Sie ein LGS mit 4 Unbekannten und möglichst wenigen
> Gleichungen an, sodass der affine Teilraum [mm]a + U[/mm] genau die
> Lösungsmenge des LGS ist.
> Hallo zusammen,
>
> hänge gerade an jener Aufgabe und weiß nicht so recht
> weiter. Ich weiß, dass die Lösungsmenge [mm]L(A,b) = \{(1,5,7,2)+\lambda(0,1,1,1)+\mu(1,0,1,-1) | \lambda,\mu \in \IR\}[/mm]
> ist, also eine Ebene.
> Wie kann ich jetzt am einfachsten verfahren?
Hallo,
eine Möglichkeit:
in dieser Ebene sind alle Punkte (x,y,z,t), welche man als
[mm] (x,y,z,t)=(1,5,7,2)+\lambda(0,1,1,1)+\mu(1,0,1,-1) [/mm] mit [mm] \lambda,\mu \in \IR\
[/mm]
schreiben kann.
Hieraus bekommst Du 4 Gleichungen.
Eliminiere [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu. [/mm] Übrig bleiben zwei Gleichungen, welche ein LGS bilden, dessen Lösungsmenge die angegebene Menge ist.
LG Angela
>
> Grüße
> Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Di 16.04.2013 | | Autor: | JoeSunnex |
Hallo Angela,
ich danke dir für den Ansatz, ich hätte noch eine Weile im Dunklen getappt :)
Ich habe jetzt statt $(x,y,z,t)$ lieber $(a,b,c,d)$ genommen, wegen der alphabetischen Anordnung.
Also man hätte:
[mm] $\begin{vmatrix} a = 1 + \mu\\ b = 5 + \lambda\\ c = 7+\lambda+\mu\\ d = 2+\lambda-\mu \end{vmatrix}$
[/mm]
Nun könnte man III - II und IV - II rechnen, man erhält die "neuen" Gleichungen $c-b = [mm] 2+\mu$ [/mm] (II) und $d-b = [mm] -3-\mu$ [/mm] (III) und danach noch II-I und III+I rechnen und man erhält insgesamt:
[mm] $\begin{vmatrix} -a-b+c=1\\ a-b+d=-2 \end{vmatrix}$
[/mm]
Nun lässt sich obiges Ergebnis durch freies Wählen von a und b reproduzieren, also sollte meine Rechnung stimmen :)
Grüße
Joe
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