LGS mit Parameter < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fndrx |
| Aufgabe | Gegeben ist das LGS mit a [mm] \in [/mm] R und a =/ 0
[mm] 3x_1 [/mm] + [mm] a^2*x_2 [/mm] - [mm] a*x_3 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] -2x_1 [/mm] - 3_x2 + [mm] a*x_3 [/mm] =0
a) Für welche a gibt es unendlich viele Lösungen ? Für welche a gibt es genau eine Lösung ?
b) Warum gibt es im obigen LGS nicht den Fall " keine Lösung " ?
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Hallo , meine eigentliche Frage ist wie man diese Teilaufgaben löst.
Durch ein bissl rumprobieren habe ich a = 2 und a = -2 rausbekommen , glaube dass sin die a's für unendlich Lösungen. Aber was muss der Ansatz sein ? Und was ist die Antwort für frage b) ?
PS-Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fndrx |
Also um ein a zu finden , wodurch das LGS unendlich Lösungen bekommt , muss ich einfach ein a suchen , womit es immernoch möglich ist [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2 [/mm] usw durch andere x's darzustellen ? Und wie geht das dann mit genau EINER Lösung ? Was muss ich hierzu beachten ? Theoretisch muss ja jedes x eine ZAHL zugeordnet bekommen und kein anderes x , aber wie wandle ich das um ?
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Hallo,
Du hast hier lineares homogens Gleichungssystem.
Daher kannst Du sicher sein, daß es auf jeden Fall eine Lösung gibt. (Welche?)
Du kannst Dir nun überlegen, daß es genau eine Lösung gibt, wenn die Koeffizientenmatrix des Systems invertierbar ist und unendlich viele, wenn sie's nicht ist.
Die Invertierbarkeit der matrix kannst Du per Determinante prüfen (Wie ist der Zusammenhang mit der Invertierbarkeit?),
oder Du bringst die Matrix auf Zeilenstufenform und machst Rangüberlegungen:
Rang =3 --> eindeutige Lösung
Rang<3 --> unendlich viele Lösungen.menhang mit der Invertierbarkeit?),
oder Du bringst die Matrix auf Zeilenstufenform und machst Rangüberlegungen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fndrx |
Tut mir Leid , aber ich geh noch in die Oberstufe und 50% der Begriffe welche du verwendest hat , habe ich nicht mal verstanden. Ich habe noch nie was von Invertierbarkeit oder Rang gehört. Gibt es keine einfachere Erklärung ? :D
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> Tut mir Leid , aber ich geh noch in die Oberstufe und 50%
> der Begriffe welche du verwendest hat , habe ich nicht mal
> verstanden. Ich habe noch nie was von Invertierbarkeit oder
> Rang gehört. Gibt es keine einfachere Erklärung ? :D
Oh, entschuldige - ich hatte gedacht, ein Student hätte ins falsche Forum gepostet.
Gut, dann müssen wir es richtig per Hand regeln.
Ich habe leider bisher noch keine Rechnung von Dir gesehen.
Löse das Gleichungssystem "ganz normal". Die a behandle dabei als Konstanten, also so, als stünde dort eine normale Zahl.
Wenn das GS eindeutig lösbar ist, bekommst Du am Ende [mm] x_1, x_2, [/mm] und [mm] x_3. [/mm] Wahrscheinlich werden Deine Lösungen natürlich irgendwie von a abhängen.
Es wäre z.B. [mm] x_1=a+12, x_2= [/mm] 17 und [mm] x_3=\bruch{1}{a^2-25} [/mm] eine eindeutige Lösung - sofern nicht [mm] a=\pm [/mm] 5 ist. Paß also auf, daß Du nichts Verbotenes tust.
Daß das System nicht eindeutig lösbar ist, erkennst Du, wenn Du am Ende mit sowas dastehst:
[mm] x_1=a+12
[/mm]
[mm] x_2= [/mm] 17-a [mm] +5x_3
[/mm]
Vielleicht zeigst Du mal, wie weit Du mit Deiner Rechnung kommst, dann können wir beim Interpretieren der Ergebnisse helfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fndrx |
Alles klar :
[mm] 3x_1+a^2*x_2-a*x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2=0
[/mm]
[mm] -2x_1-3x_2+a*x_3=0 [/mm] Habe nun erstma I mit II addiert ->
[mm] 3x_1+a^2*x_2-a*x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+x_2=0
[/mm]
[mm] x_1-(a^2+3)*x_2 [/mm] = 0
letzes mal umgeformt zu [mm] x_1 [/mm] = [mm] (a^2+3)*x_2
[/mm]
da [mm] x_1 [/mm] = [mm] -x_2 [/mm] ( siehe II )
->
[mm] -x_2 [/mm] = [mm] (a^2+3) [/mm] * [mm] x_2
[/mm]
-1 = [mm] a^2 [/mm] + 3
[mm] a^2 [/mm] = -4 ; OK vorhin hatte ich [mm] a^2 [/mm] = 4 da stehn , wahr nen rechenfehler grade oder vorhin :D Naja weiter wüsst ich dann au schon net ...
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> Alles klar :
>
> [mm]3x_1+a^2*x_2-a*x_3=0[/mm]
> [mm]x_1+x_2=0[/mm]
> [mm]-2x_1-3x_2+a*x_3=0[/mm] Habe nun erstma I mit II [mm] \red{(nein, \quad mit\quad III)\}addiert [/mm] ->
>
> [mm]3x_1+a^2*x_2-a*x_3=0[/mm]
> [mm]x_1+x_2=0[/mm]
> [mm]x_1-(a^2+3)*x_2[/mm] = 0
Hallo,
wenn Du das tust, bekommst Du aber in der letzten Zile
[mm]x_1\red{a^2-3)*x_2[/mm] = 0
Wenn ich jetzt weiterrechne, bekomme ich dies - guck' Du, ob's bei Dir ähnlich aussieht, mir geht's jetzt eher ums Prinzip
I. [mm] (4-a^2)x_1=0
[/mm]
II. [mm] x_1 +x_2=0
[/mm]
III. [mm] -2x_1 -3x_2 -ax_3=0
[/mm]
Nun ein Blick auf I. [mm] (4-a^2)x_1=0.
[/mm]
Für [mm] \green{a\not=\pm 2} [/mm] kann ich durch [mm] (4-a^2) [/mm] dividieren und bekomme [mm] x_1=0,
[/mm]
und daraus [mm] x_2=0 [/mm] und [mm] x_3=0,
[/mm]
also genau eine Lösung
Für [mm] \green{a= 2} [/mm] sieht mein GS so aus:
I. 0=0
II. [mm] x_1 +x_2=0
[/mm]
III. [mm] -2x_1 -3x_2 -2x_3=0
[/mm]
Ich habe 3 Variablen in 2 Gleichungen, also kann ich etwa x-1 frei wählen mit
[mm] x_1=t [/mm] , [mm] t\in \IR,
[/mm]
[mm] x_2=-t
[/mm]
[mm] x_3=bruch{1}{2}t, [/mm] also unendlich viele Lösungen.
Nun mußt Du's der Vollständigkeit halber noch für a=-2 prüfen.
Gruß v. Angela
und bekomme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Mi 04.11.2009 | | Autor: | fndrx |
Also wenn ich das bis jetzt richtig sehe , gibt es genau EINE Lösung wenn in den x's kein anderes enthalten ist z.B. [mm] x_1 [/mm] = 10 + a x2 = a ; [mm] x_3 [/mm] = 10
Und es gibt viele Lösungen wenn ein x in einem x erscheint :D blöd formuliert , BSP. [mm] x_1 [/mm] = a * [mm] x_2 [/mm]
Und wieso gibt es nicht , keine lösung ?
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Gauß-Algorithmus