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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Di 08.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Hallo,
an alle die lineare Gleichungssysteme lieben  .
Aufgabe:
Bestimmen Sie, für welche $t [mm] \in \IR$ [/mm] das folgende lineare Gleichungssystem lösbar ist?
[mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 12t$
[mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 12x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 12t + 7$
[mm] $x_1 [/mm] + [mm] 10x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 7t+8$
Meine Lösung:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 2 \\
2 & 12 & 7 \\
1 & 10 & 6
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7 \\ 7t+8 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile mit 2 multiplizieren:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 2 \\
2 & 12 & 7 \\
2 & 20 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7 \\ 14t+16 \end{pmatrix} [/mm] 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 2 \\
0 & 8 & 5 \\
2 & 20 & 12
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 7 \\ 14t+16 \end{pmatrix} [/mm] 1. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 2 \\
0 & 8 & 5 \\
0 & 16 & 10
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 7 \\ 2t+16 \end{pmatrix} [/mm] 3. Zeile durch 2 dividieren:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 2 \\
0 & 8 & 5 \\
0 & 8 & 5
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 7 \\ t+8 \end{pmatrix} [/mm]
Das Lineare Gleichungssystem sieht nun wie folgt aus:
(1) [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 6t$
(2) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 7$
(3) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = t+8$
(2) minus (3) = (4) $0= 7-(t+8)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0= 7-t-8$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0= -t-1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] t= -1$
Für $t=-1$ ist das lineare Gleichungssystem lösbar.
$t=-1$ setze ich in das lineare Gleichungssystem :
(1) [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -6$
(2) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 7$
(3) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 7$
Ich setze [mm] $x_1=1$ [/mm] in (1):
(4) [mm] $1+2x_2+x_3=-6$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 2x_2+x_3=-7$
[/mm]
(4) mal 4 = (4) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] = -28$
(2) minus (5) = (6) [mm] $x_3 [/mm] = 35$
Ich setze [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_3=35$ [/mm] in (1) ein:
(7) [mm] $1+2x_2+35 [/mm] = -6$
[mm] $\Rightarrow 2x_2 [/mm] = -42$
[mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] = -21$
Für $t=-1$ sieht die Lösung des linearen Gleichungssystems so aus:
[mm] $L=\{ (1,-21,35)\}$
[/mm]
Könnte ich nun so etwas schreiben und wie soll ich das am Ende formulieren?
[mm] $L_t=\{ (-t,21t,-35t)\}$
[/mm]
Vielen Dank und schönen Tag noch an Alle
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Di 08.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nevinpol,
> Bestimmen Sie, für welche $t [mm] \in \IR$ [/mm] das folgende lineare
> Gleichungssystem lösbar ist?
>
> [mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 12t$
> [mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 12x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 12t + 7$
> [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 10x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 7t+8$
>
> Meine Lösung:
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 2 & 4 & 2 \\
> 2 & 12 & 7 \\
> 1 & 10 & 6
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7 \\ 7t+8 \end{pmatrix}[/mm]
> 3. Zeile mit 2 multiplizieren:
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 2 & 4 & 2 \\
> 2 & 12 & 7 \\
> 2 & 20 & 12
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 12t+7 \\ 14t+16 \end{pmatrix}[/mm]
> 1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
>
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 2 & 4 & 2 \\
> 0 & 8 & 5 \\
> 2 & 20 & 12
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 7 \\ 14t+16 \end{pmatrix}[/mm]
> 1. Zeile von der 3. Zeile subtrahieren:
>
>
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 2 & 4 & 2 \\
> 0 & 8 & 5 \\
> 0 & 16 & 10
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 7 \\ 2t+16 \end{pmatrix}[/mm]
> 3. Zeile durch 2 dividieren:
>
> [mm]
> \begin{pmatrix}
> 2 & 4 & 2 \\
> 0 & 8 & 5 \\
> 0 & 8 & 5
> \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 12t \\ 7 \\ t+8 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Das Lineare Gleichungssystem sieht nun wie folgt aus:
>
> (1) [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 6t$
> (2) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 7$
> (3) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = t+8$
>
> (2) minus (3) = (4) $0= 7-(t+8)$
> [mm] $\Rightarrow [/mm] 0= 7-t-8$
> [mm] $\Rightarrow [/mm] 0= -t-1$
> [mm] $\Rightarrow [/mm] t= -1$
>
> Für $t=-1$ ist das lineare Gleichungssystem lösbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
An dieser Stelle ist die Aufgabe fertig. Es war ja nur danach gefragt, für welche t es eine Lösung gibt.
Der Rest jetzt ist zusätzliche Fleißarbeit:
> $t=-1$ setze ich in das lineare Gleichungssystem :
>
>
> (1) [mm] $x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = -6$
> (2) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 7$
> (3) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 5x_3 [/mm] = 7$
>
> Ich setze [mm] $x_1=1$ [/mm] in (1):
>
> (4) [mm] $1+2x_2+x_3=-6$
[/mm]
> [mm] $\Rightarrow 2x_2+x_3=-7$
[/mm]
>
> (4) mal 4 = (4) [mm] $8x_2 [/mm] + [mm] 4x_3 [/mm] = -28$
>
> (2) minus (5) = (6) [mm] $x_3 [/mm] = 35$
>
> Ich setze [mm] $x_1=1$ [/mm] und [mm] $x_3=35$ [/mm] in (1) ein:
>
> (7) [mm] $1+2x_2+35 [/mm] = -6$
> [mm] $\Rightarrow 2x_2 [/mm] = -42$
> [mm] $\Rightarrow x_2 [/mm] = -21$
>
> Für $t=-1$ sieht die Lösung des linearen Gleichungssystems
> so aus:
>
> [mm] $L=\{ (1,-21,35)\}$
[/mm]
Dies ist eine Lösung, von unendlich vielen.
> Könnte ich nun so etwas schreiben und wie soll ich das am
> Ende formulieren?
>
> [mm] $L_t=\{ (-t,21t,-35t)\}$
[/mm]
Das sehe ich jetzt mehr. Erstes ist verwirrend, dass du hier die Variable t benutzt, denn dieses t hat ja mit dem t der Aufgabenstellung nichts zu tun.
Um alle Lösungen des LGS zu "erfassen", kannst du entweder alle Lösungen in Abhängigkeit einer Variablen angeben (z.B. [mm] $x_1$, $x_2$ [/mm] oder [mm] $x_3$) [/mm] oder du findest zunächst eine Lösung für das zugehörige homogene LGS und eine Lösung für das inhomogene LGS; im zweiten Fall sind dann alle Linearkombinationen der "homogenen" Lösung + der "inhomogenen" Lösung die Lösung des ganzen LGS.
Viele Grüße,
Marc
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