LGS mit a und b < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 10.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sei das LGS:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 3 &0 & a \\ 7 & 2 & -4} \vektor{x1\\ x2 \\ x3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ b}
[/mm]
a) Bestimmen Sie für a=3 und b=-9 die Lösungsmenge des LGS!
b) Für welche Kombinationen von a,b [mm] \in [/mm] R besitzt das LGS genau eine Lösung, für welche Kombinationen ist die Lösungsmenge des LGS ein 1-dimensionaler Vektorraum, für welche Kombinationen existiert keine Lösung?
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moin,
zu a)
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 3 &0 & a :0 \\ 7 & 2 & -4 :-9}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &1 & -1 :0 \\ 0 & 0 & -1 :-1}
[/mm]
L= { -1 / 1 / 1}
zu b)
hier weiss ich nicht genau. ich habe das LGS zuerst allgemein umgeformt:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &3 & a-6 :0 \\ 0 & 0 & -3a : b}
[/mm]
-3a*x3 = b
x3 = [mm] \bruch{b}{3a}
[/mm]
=> nicht lösbar für a=0
x2= [mm] \bruch{(a-6)*b}{9a}
[/mm]
x1= [mm] \bruch{b}{9}
[/mm]
aber wie prüfe ich jetzt weiter?
wenn dim(A)=1 sein soll, dann müssen die vektoren linear abhängig von einander sein.
dennoch komme ich nicht auf einen ansatz, muss ich hierbei die rechte seite berücksichtigen.
könnte vielleicht sagen:
r* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = s * [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ a-6} [/mm] = t* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -3a}
[/mm]
???
danke & gruß
wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Sa 10.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben sei das LGS:
>
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 3 &0 & a \\ 7 & 2 & -4} \vektor{x1\\ x2 \\ x3}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ b}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie für a=3 und b=-9 die Lösungsmenge des
> LGS!
> b) Für welche Kombinationen von a,b [mm]\in[/mm] R besitzt das LGS
> genau eine Lösung, für welche Kombinationen ist die
> Lösungsmenge des LGS ein 1-dimensionaler Vektorraum, für
> welche Kombinationen existiert keine Lösung?
>
> moin,
>
> zu a)
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 3 &0 & a :0 \\ 7 & 2 & -4 :-9}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &1 & -1 :0 \\ 0 & 0 & -1 :-1}[/mm]
>
> L= { -1 / 1 / 1}
>
> zu b)
>
> hier weiss ich nicht genau. ich habe das LGS zuerst
> allgemein umgeformt:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 2 : 0\\ 0 &3 & a-6 :0 \\ 0 & 0 & -3a : b}[/mm]
>
> -3a*x3 = b
>
> x3 = [mm]\bruch{b}{3a}[/mm]
Hier ist richtig
x3 = [mm] -\bruch{b}{3a}
[/mm]
>
> => nicht lösbar für a=0
>
> x2= [mm]\bruch{(a-6)*b}{9a}[/mm]
>
> x1= [mm]\bruch{b}{9}[/mm]
>
>
> aber wie prüfe ich jetzt weiter?
>
Es gibt vier Fälle
I) a=0 und b=0
II) [mm] a\ne0 [/mm] und b=0
III) a=0 und [mm] b\ne0
[/mm]
IV) [mm] a\ne0 [/mm] und [mm] b\ne0
[/mm]
Sei b der Vektor [mm] b=\vektor{0 \\ 0 \\ b} [/mm] und
A die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 3 &0 & a \\ 7 & 2 & -4} [/mm] sowie
[mm] (A|b)=\pmat{ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & a & 0 \\ 7 & 2 & -4 & b}
[/mm]
Fall I)
Hier gibt es unendlich viele Lösungen. Die Dimension des Lösungsraums ist 3-rang(A|b)=1 weil rang(A|b)=2 gilt
Fall II)
Hier ist Rang(A)=3 also gibt es genau eine Lösung
Fall III)
Hier ist Rang(A)=3 und Rang(A|b)=2 also gibt es keine Lösung
Fall IV)
Hier ist Rang(A)=3 also gibt es auch hier genau eine Lösung
mfg ullim
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