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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 20.09.2009 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
A= [mm] \pmat{ 2 & -3 & 2 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & -1 }
[/mm]
mit Spaltenpivotsuche. Führen sie dabei alle Zwischenschritte auf.
b) Berechnen Sie dann mit Hilfe der obigen Zerlegung die Lösung des Gleichungssystems Ax=b für b=(1, 1, 2, [mm] -1)^{T} [/mm] |
Mit Spaltenpivotsuche bedeutet ja erstmal, dass ich in diesem Fall die 1. und 3. Zeile tausche, richtig?
Dann meine Frage, wenn ich dann anfange mit der Gaußelimination multipliziere ich die erste Zeile mit [mm] \bruch{1}{3} [/mm] oder die zweite Zeile mit 3 und subtrahiere diese dann?
Steht also in meiner L-Matrix an der Stelle [mm] l_{2,1} [/mm] 3 oder [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Ich hoffe ihr versteht was ich meine :).
LG, elba
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Hallo Elba!
> Mit Spaltenpivotsuche bedeutet ja erstmal, dass ich in
> diesem Fall die 1. und 3. Zeile tausche, richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann meine Frage, wenn ich dann anfange mit der
> Gaußelimination multipliziere ich die erste Zeile mit
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] oder die zweite Zeile mit 3 und subtrahiere
> diese dann?
Die erste Zeile (also die jetzige Pivotzeile) veränderst du nicht, du multiplizierst sie also nicht mit [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Du brauchst diese Zeile ja noch zum erzeugen der 0 in den anderen Zeilen, dann wärs ja doof, wenn du die immer wieder "anpassen" musst.
Du subtrahierst von der Zeile, in der du eine 0 erzeugen willst, ein Vielfaches der Pivotzeile.
Hier also:
Wenn du in Zeile 2 an der ersten Stelle eine 0 erzeugen willst, dann subtrahierst du von Zeile 2 das [mm] \bruch{1}{3}-fache [/mm] der ersten Zeile.
Wenn du danach in Zeile 3 an der ersten Stelle ein 0 erzeugen willst, dann subtrahierst du von Zeile 3 das [mm] \bruch{2}{3}-fache [/mm] der zweiten Zeile.
Und analog für Zeile 4.
> Steht also in meiner L-Matrix an der Stelle [mm]l_{2,1}[/mm] 3 oder
> [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
> Ich hoffe ihr versteht was ich meine :).
In der L-Matrix werden die Vielfachen gespeichert.
An der Stelle [mm]l_{2,1}[/mm] steht dann also [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 20.09.2009 | | Autor: | elba |
Ja, super danke!
Ich hab's dann glaub ich auch:
L= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \bruch{1}{3} & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 2\bruch{3}{5} & 1 & 0 \\ \bruch{1}{3} & \bruch{-1}{5} & 18 & 1}
[/mm]
R= [mm] \pmat{ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} & 1\bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & \bruch{-1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}
[/mm]
b) x= [mm] \vektor{2 \\ -2 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
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Hallo Elba.
> L= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \bruch{1}{3} & 1 & 0 & 0 \\ \bruch{2}{3} & 2\bruch{3}{5} & 1 & 0 \\ \bruch{1}{3} & \bruch{-1}{5} & 18 & 1}[/mm]
>
> R= [mm]\pmat{ 3 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1\bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} & 1\bruch{2}{3} \\ 0 & 0 & \bruch{-1}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1}[/mm]
Die Matrix R bekomme ich auch raus, allerdings nur dann, wenn ich nach dem Erzeugen der Nullen in der ersten Spalte die restliche LR-Zerlegung ohne Spaltenpivotisierung mache.
Meine L-Matrix ist dann auch wie deine, bis auf das mein Eintrag [mm] l_{4,3}=-\bruch{11}{9} [/mm] ist.
Solltet ihr nur im ersten Schritt die Spaltenpivotisierung machen?
> b) x= [mm]\vektor{2 \\ -2 \\ 1 \\ -2}[/mm]
Das hab ich jetzt nicht nachgerechnet, weil ich jetzt nicht wusste, ob unsere Ergebnisse oben korrekt sind, oder ob man doch überall Spaltenpivotisierung machen sollte.
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 20.09.2009 | | Autor: | elba |
ah ok. Jetzt wo du es sagst glaube ich, dass wir natürlcih weiter mit Spaltenpivotisierung arbeiten mussten.
Dann muss ich also, wenn ich in der ersten Spalte die Nullen erzeugt habe, die 3. mit der 2. zeile tauschen, richtig?
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Hallo Elba.
> ah ok. Jetzt wo du es sagst glaube ich, dass wir natürlcih
> weiter mit Spaltenpivotisierung arbeiten mussten.
> Dann muss ich also, wenn ich in der ersten Spalte die
> Nullen erzeugt habe, die 3. mit der 2. zeile tauschen,
> richtig?
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:19 Mo 21.09.2009 | | Autor: | elba |
Wenn ich jetzt aber weiter mit Spaltenpivotisierung arbeite und die 2. 3. Zeile tausche, ist mein [mm] l_{3,2}= \bruch{5}{13}. [/mm] Und wenn ich so weiter rechne, ergeben bei mir L*R nicht wieder A.
Der Wert bei L ändert sich doch, wenn ich die Zeilen tausche, der kann dochnicht derselbe bleiben wie vorher,oder??
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Hallo Elba!
> Und wenn ich so weiter rechne, ergeben bei mir L*R nicht
> wieder A.
> Der Wert bei L ändert sich doch, wenn ich die Zeilen
> tausche, der kann dochnicht derselbe bleiben wie
> vorher,oder??
Die Zerlegung bei Spaltenpivotisierung lautet wie folgt:
$P*A=L*R$
In der Matrix L tauschst du nix, die bildest du wie gewohnt.
Fürs Tauschen ist die Matrix P zuständig.
Für jeden Tausch brauchst du eine Matrix [mm] P_i [/mm] , alle [mm] P_i [/mm] miteinander multipliziert ergeben P.
Du bildest [mm] P_i [/mm] wie folgt: Nimm die Einheitsmatrix und tausche darin die Zeilen, die du auch in A tauschst.
Also für [mm] P_1 [/mm] : Du tauschst Zeile 1 und 3 [mm] \Rightarrow [/mm] Aus [mm] E=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] wird [mm] P_1=\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm]
Kommst du nun weiter?
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 22.09.2009 | | Autor: | elba |
Nein, ehrlich gesagt nicht.
Ich notiere doch in der L Matrix immer gerade die Werte mit der ich die andere Matrix umforme um auf R zu kommen.
Deshalb weiß ich gerade nicht, was ich mit der Matrix P machen soll. Damit habe ich vorher nie gearbeitet.
Ich verstehe nicht wie die Matrix L gleich leiben kann in dem Eintrag, wenn ich doch die Zeilen getauscht habe und nun einen anderen Faktor brauche um die Matrix umzuformen.
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look here
https://matheraum.de/read?t=342514
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Di 22.09.2009 | | Autor: | elba |
Danke schön!
Jetzt hab ichs auch verstanden und mein L und R habe ich nun auch !!!
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