LR zerlegung < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:37 So 31.10.2010 | | Autor: | monti |
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
A=
2 -3 2 5
1 -1 1 2
3 2 2 1
1 1 -3 -1
mit Spaltenpivotsuche. |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
A =
2 -3 2 5
1 -1 1 2
3 2 2 1
1 1 -3 -1
mit Spaltenpivotsuche. |
ich dachte, ich habe d allgorithmus verstanden .. aber irgendwie passt das am ende nicht mehr :S
ich werde es so detalliert wie möglich schreiben .. vlt kann mir jmd sagen wo ich falsch denke
wobei max der pivot element ist, also betragmäßig größtes element ..
und P der permutationsmatrix
max =
3
vertausche zeile 1 mit zeile 3
R =
3 2 2 1
1 -1 1 2
2 -3 2 5
1 1 -3 -1
P =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
fange mit gauß el.-verfahren
ich subtrahiere von der Zeile, in der ich eine 0 erzeugen will, ein Vielfaches der Pivotzeile.
R =
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
2 -3 2 5
1 1 -3 -1
R =
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
0 -13/3 2/3 13/3
1 1 -3 -1
R =
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
0 -13/3 2/3 13/3
0 1/3 -11/3 -4/3
max =
-13/3
vertausche zeile 2 mit zeile 3
R =
3 2 2 1
0 -13/3 2/3 13/3
0 -5/3 1/3 5/3
0 1/3 -11/3 -4/3
P =
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
fange mit Gauß-El.-verfahren
R =
3 2 2 1
0 -13/3 2/3 13/3
0 0 1/13 0
0 1/3 -11/3 -4/3
R =
3 2 2 1
0 -13/3 2/3 13/3
0 0 1/13 0
0 0 -47/13 -1
max =
-47/13
vertausche zeile 3 mit zeile 4
R =
3 2 2 1
0 -13/3 2/3 13/3
0 0 -47/13 -1
0 * 1/13 *
P =
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
fange mit gauß el.
R =
3 2 2 1
0 -13/3 2/3 13/3
0 0 -47/13 -1
0 0 0 -1/47
nun sieht L wie folgt aus
L =
1 0 0 0
1/3 1 0 0
2/3 5/13 1 0
1/3 -1/13 -1/47 1
P =
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
aber wenn ich L*R multipliziere kommt nicht P*A raus ..
ist das normal
also das ist mein ergebnis für
L*R
3 2 2 1
1 -11/3 4/3 14/3
2 -1/3 -79/39 4/3
1 1 9/13 0
was habe ich den falsch gemacht :S
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=431684]
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Hallo monti,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
> A=
>
> 2 -3 2 5
> 1 -1 1 2
> 3 2 2 1
> 1 1 -3 -1
>
> mit Spaltenpivotsuche.
> Berechnen Sie die LR-Zerlegung der Matrix
> A =
>
>
>
> 2 -3 2 5
> 1 -1 1 2
> 3 2 2 1
> 1 1 -3 -1
>
> mit Spaltenpivotsuche.
>
> ich dachte, ich habe d allgorithmus verstanden .. aber
> irgendwie passt das am ende nicht mehr :S
> ich werde es so detalliert wie möglich schreiben .. vlt
> kann mir jmd sagen wo ich falsch denke
>
>
> wobei max der pivot element ist, also betragmäßig
> größtes element ..
> und P der permutationsmatrix
>
>
>
> max =
>
> 3
>
>
>
> vertausche zeile 1 mit zeile 3
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 1 -1 1 2
> 2 -3 2 5
> 1 1 -3 -1
>
>
>
>
> P =
>
> 0 0 1 0
> 0 1 0 0
> 1 0 0 0
> 0 0 0 1
>
> fange mit gauß el.-verfahren
> ich subtrahiere von der Zeile, in der ich eine 0 erzeugen
> will, ein Vielfaches der Pivotzeile.
>
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 2 -3 2 5
> 1 1 -3 -1
>
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 1 1 -3 -1
>
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 1/3 -11/3 -4/3
>
>
>
>
> max =
>
> -13/3
>
> vertausche zeile 2 mit zeile 3
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 0 1/3 -11/3 -4/3
>
>
> P =
>
> 0 0 1 0
> 1 0 0 0
> 0 1 0 0
> 0 0 0 1
>
> fange mit Gauß-El.-verfahren
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 0 1/13 0
> 0 1/3 -11/3 -4/3
>
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 0 1/13 0
> 0 0 -47/13 -1
>
>
>
> max =
>
> -47/13
>
> vertausche zeile 3 mit zeile 4
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 0 -47/13 -1
> 0 * 1/13 *
>
>
> P =
>
> 0 0 1 0
> 1 0 0 0
> 0 0 0 1
> 0 1 0 0
>
> fange mit gauß el.
>
> R =
>
> 3 2 2 1
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 0 -47/13 -1
> 0 0 0 -1/47
>
>
>
> nun sieht L wie folgt aus
> L =
>
> 1 0 0 0
> 1/3 1 0 0
> 2/3 5/13 1 0
> 1/3 -1/13 -1/47 1
>
>
> P =
>
> 0 0 1 0
> 1 0 0 0
> 0 0 0 1
> 0 1 0 0
>
>
> aber wenn ich L*R multipliziere kommt nicht P*A raus ..
> ist das normal
>
> also das ist mein ergebnis für
> L*R
>
> 3 2 2 1
> 1 -11/3 4/3 14/3
> 2 -1/3 -79/39 4/3
> 1 1 9/13 0
>
> was habe ich den falsch gemacht :S
>
Die Permutationsmatrizen sind nicht in jedem Schritt miteinander zu multiplizieren
Nach der 1. Spaltenpivotsuche hast Du eine Permutationsmatrix [mm]P_[1}[/mm]
Dann ergibt sich die neue Matrix zu: [mm]P_{1}*A=A_{1}[/mm]
Auf die Matrix [mm]A_{1}[/mm] wendest Du jetzt Gauß an.
Ist [mm]Z_{1}[/mm] diese Matrix, die Du durch die Eliminationsschritte
erhalten hast, so ergibt sich wiederum eine neue Matrix:
[mm]A_{2}=Z_{1}*A_{1}[/mm]
Es ergibt sich demnach:
[mm]A_{2}=Z_{1}*A_{1}=Z_{1}*P_{1}*A[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]A=P_{1}^{-1}*Z_{1}^{-1}*A_{2}[/mm]
Im 2. Schritt folgt dasselbe Spiel:
Pivotsuche auf der Matrix [mm]A_{2}[/mm], daraus folgt die Permutationsmatrix [mm]P_{2}[/mm] und die neue Matrix [mm]A_{3}=P_{2}*A_{2}[/mm]
Die Anwendung von Gauß auf die Matrix [mm]A_{3}[/mm] führt zu einer
Eliminationsmatrix [mm]Z_{2}[/mm] und der neuen Matrix [mm]A_{4}=Z_{2}*A_{2}[/mm], woraus sich wiederum ergibt:
[mm]A_{2}=P_{2}^{-1}*Z_{2}^{-1}*A_{4}[/mm]
Bis hierhin lautet das Zwischenergebnis:
[mm]A=P_{1}^{-1}*Z_{1}^{-1}*A_{2}=P_{1}^{-1}*Z_{1}^{-1}*P_{2}^{-1}*Z_{2}^{-1}*A_{4}[/mm]
Letzter Schritt liefert
[mm]A_{4}=P_{2}^{-1}*Z_{2}^{-1}*A_{6}[/mm]
[mm]A_{6}[/mm] ist jetzt eine rechte obere Dreieecksmatrix.
Damit lautet das Resultat:
[mm]A=P_{1}^{-1}*Z_{1}^{-1}*P_{2}^{-1}*Z_{2}^{-1}*P_{3}^{-1}*Z_{3}^{-1}*A_{6}[/mm]
Hier ist dann:
[mm]L=P_{1}^{-1}*Z_{1}^{-1}*P_{2}^{-1}*Z_{2}^{-1}*P_{3}^{-1}*Z_{3}^{-1}[/mm]
und
[mm]R=A_{6}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=431684]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mo 01.11.2010 | | Autor: | monti |
thank you very many much :D
aber irgendwie habe ich irgendwas nicht so wirklich verstanden..
1-spalte
max = 3 befindet sich in 3-zeile
P1 =
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
A1 =P1* A
3 2 2 1
1 -1 1 2
2 -3 2 5
1 1 -3 -1
fange mit gauß elimanition verfahren
l =
1/3
=
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
2 -3 2 5
1 1 -3 -1
l =
2/3
=
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
0 -13/3 2/3 13/3
1 1 -3 -1
l =
1/3
=
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
0 -13/3 2/3 13/3
0 1/3 -11/3 -4/3
ergebnis nach gauße eliminationsverfahren
Z1 =
3 2 2 1
0 -5/3 1/3 5/3
0 -13/3 2/3 13/3
0 1/3 -11/3 -4/3
A2 = Z1*A1
16 -1 9 16
2/3 7/3 -6 -10/3
4/3 20/3 -16 -29/3
-25/3 28/3 -3 -49/3
und wenn ich nun
inv(P1)*inv(Z1)*A2 berechne kommt auch wirklich A raus ... :D
nun schaue ich mir doch die zweite spalte an in A2 oder???
max = 28/3 , 4-zeile
P2 =
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
A3=A2*P2
16 -1 9 16
-25/3 28/3 -3 -49/3
4/3 20/3 -16 -29/3
2/3 7/3 -6 -10/3
fange mit gauß elimanition verfahren:
und jetzt geht es los :D wo fange ich denn an :S
also welche elemente mussen 0 sein ..
wenn ich wie folgt rechne (die letzten beiden elemente in 2 spalte zu null mache):
l =
5/7
=
16 -1 9 16
-25/3 28/3 -3 -49/3
51/7 0 -97/7 2
2/3 7/3 -6 -10/3
l =
1/4
dann bekome ich sowas raus ..
Z2=
16 -1 9 16
-25/3 28/3 -3 -49/3
51/7 0 -97/7 2
11/4 0 -21/4 3/4
A4 =Z2*A2
134 191 -42 -89
5 -427/3 -34 394/3
570/7 -81 1969/7 1525/7
123/4 -123/4 213/2 165/2
inv(P2)*inv(Z2)*A4 = P2*A2 und nicht A2 =
16 -1 9 16
-25/3 28/3 -3 -49/3
4/3 20/3 -16 -29/3
2/3 7/3 -6 -10/3
inv(P1)*inv(Z1)*A2 = A =
2 -3 2 5
1 -1 1 2
3 2 2 1
1 1 -3 -1
juhuuuuuuu :P
inv(P1)*inv(Z1)*inv(P2)*inv(Z2)*A4=
-115 88 41 -164
397 -309 -131 574
-321 254 110 -467
415 -321 -141 597
also nicht A
waruuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuummmmmm?????
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Hallo monti,
> thank you very many much :D
>
> aber irgendwie habe ich irgendwas nicht so wirklich
> verstanden..
>
>
> 1-spalte
> max = 3 befindet sich in 3-zeile
>
>
> P1 =
>
> 0 0 1 0
> 0 1 0 0
> 1 0 0 0
> 0 0 0 1
>
>
> A1 =P1* A
>
> 3 2 2 1
> 1 -1 1 2
> 2 -3 2 5
> 1 1 -3 -1
>
> fange mit gauß elimanition verfahren
Jetzt setzen wir
[mm]Z1=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> l =
>
> 1/3
>
>
> =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 2 -3 2 5
> 1 1 -3 -1
>
Nach diesem Eliminiationsschritt ist
[mm]Z1=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{3} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> l =
>
> 2/3
>
> =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 1 1 -3 -1
>
Nach dem 2. Eliminiationsschritt ist
[mm]Z1=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{3} & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> l =
>
> 1/3
>
>
> =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 1/3 -11/3 -4/3
>
> ergebnis nach gauße eliminationsverfahren
>
> Z1 =
>
> 3 2 2 1
> 0 -5/3 1/3 5/3
> 0 -13/3 2/3 13/3
> 0 1/3 -11/3 -4/3
>
Die Matrix Z1 muß dann so aussehen:
Nach dem 3. Eliminiationsschritt ist
[mm]Z1=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{1}{3} & 1 & 0 & 0 \\ -\bruch{2}{3} & 0 & 1 & 0 \\ -\bruch{1}{3} & 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> A2 = Z1*A1
>
> 16 -1 9 16
> 2/3 7/3 -6 -10/3
> 4/3 20/3 -16 -29/3
> -25/3 28/3 -3 -49/3
>
>
> und wenn ich nun
>
> inv(P1)*inv(Z1)*A2 berechne kommt auch wirklich A raus ...
> :D
>
>
>
> nun schaue ich mir doch die zweite spalte an in A2 oder???
>
> max = 28/3 , 4-zeile
>
>
> P2 =
>
> 1 0 0 0
> 0 0 0 1
> 0 0 1 0
> 0 1 0 0
>
>
> A3=A2*P2
>
> 16 -1 9 16
> -25/3 28/3 -3 -49/3
> 4/3 20/3 -16 -29/3
> 2/3 7/3 -6 -10/3
>
> fange mit gauß elimanition verfahren:
> und jetzt geht es los :D wo fange ich denn an :S
> also welche elemente mussen 0 sein ..
> wenn ich wie folgt rechne (die letzten beiden elemente in
> 2 spalte zu null mache):
>
Beginne hier an dieser Stell wiederum mit
[mm]Z2=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
> l =
>
> 5/7
>
>
> =
>
> 16 -1 9 16
> -25/3 28/3 -3 -49/3
> 51/7 0 -97/7 2
> 2/3 7/3 -6 -10/3
>
>
> l =
>
> 1/4
>
> dann bekome ich sowas raus ..
>
> Z2=
>
> 16 -1 9 16
> -25/3 28/3 -3 -49/3
> 51/7 0 -97/7 2
> 11/4 0 -21/4 3/4
>
>
>
>
> A4 =Z2*A2
>
> 134 191 -42 -89
> 5 -427/3 -34 394/3
> 570/7 -81 1969/7 1525/7
> 123/4 -123/4 213/2 165/2
>
>
>
> inv(P2)*inv(Z2)*A4 = P2*A2 und nicht A2 =
>
> 16 -1 9 16
> -25/3 28/3 -3 -49/3
> 4/3 20/3 -16 -29/3
> 2/3 7/3 -6 -10/3
>
>
> inv(P1)*inv(Z1)*A2 = A =
>
> 2 -3 2 5
> 1 -1 1 2
> 3 2 2 1
> 1 1 -3 -1
>
> juhuuuuuuu :P
>
>
> inv(P1)*inv(Z1)*inv(P2)*inv(Z2)*A4=
>
> -115 88 41 -164
> 397 -309 -131 574
> -321 254 110 -467
> 415 -321 -141 597
>
> also nicht A
>
>
> waruuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuummmmmm?????
>
Die Matrizen Z1,Z2 sind falsch.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Di 02.11.2010 | | Autor: | monti |
boaaaaaaaaaaaaaaah endliiiiiicchhhh habe ich es auch geschafft....
dankeschööööööön XD
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