L'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 So 11.05.2008 | | Autor: | abakus |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe von L'Hospital folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c})^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
mit a, b, c >0. |
Hallo,
ich habe schon einige l'Hospital-Aufgaben problemlos lösen können, aber hier hänge ich. Man kann ja Zähler und Nenner separat mit (1/x) potenzieren, aber auch bei mehrmaliger Ableitung bekomme ich nichts, was mir weiter hilft.
Einen Spezialfall habe ich schon mal gelöst: wenn a=b=c gilt, dann ist
[mm] (\bruch{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c})^{\bruch{1}{x}}=(\bruch{3a^{x+1}}{3a})^{\bruch{1}{x}}=(a^{x})^{\bruch{1}{x}}=a.
[/mm]
Damit kenne ich schon mal die "Dimension".
Bei verschiedenen Werten a,b,c bekomme ich vermutlich einen Mittelwert?
Kann mir jemand einen Tipp für einen vernünftigen allgemeinen Ansatz geben?
Viele Grüße
Abakus
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo abakus,
ich hab's nicht ganz durchgerechnet, aber der Ansatz, das Biest erst einmal mit der Definition der allg. Potenz umzuschreiben, scheint mir aussichtsreich zu sein:
Es ist $\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\cdit{}\ln\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)$
Hier greife dir den Exponenten heraus:
$\frac{\ln\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)}{x}$
Der strebt für $x\to 0$ gegen $\frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}$
Also mit de l'Hôpital draufhauen. Dann das Ergebnis noch $e^{(...)}$ nehmen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Mo 12.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> ich hab's nicht ganz durchgerechnet, aber der Ansatz, das
> Biest erst einmal mit der Definition der allg. Potenz
> umzuschreiben, scheint mir aussichtsreich zu sein:
>
> Es ist
> [mm]\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\cdit{}\ln\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)[/mm]
>
> Hier greife dir den Exponenten heraus:
>
> [mm]\frac{\ln\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}+c^{x+1}}{a+b+c}\right)}{x}[/mm]
>
> Der strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]\frac{\ln(1)}{0}=\frac{0}{0}[/mm]
>
> Also mit de l'Hôpital draufhauen. Dann das Ergebnis noch
> [mm]e^{(...)}[/mm] nehmen ...
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Hallo Schachuzips,
danke für den Tipp. Ich erhalte am Ende [mm] (a^ab^bc^c)^{\bruch{1}{a+b+c}}, [/mm] und das deckt sich mit meinem speziellen Ergebnis "a"
für den Fall a=b=c.
Viele Grüße
Abakus
|
|
|
|
