L´Hospital bei Gebr.rat.Funkt. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Begründen Sie ob/warum die Regel von L`Hospital angewendet werden kann und bestimmen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2*x^2+5*x}{-x^2+2x+1} [/mm] |
Hi Leute,
ich habe mehr eine Frage zur generellen Vorgehensweiße bei solchen Aufgaben. Und zwar:
Berechne ich hier zuerst die Nullstellen und kürze evtl. behebbare Def.Lücken raus? Oder kann ich direkt wenn Zähler und Nenner stetig und differenzierbar sind die L´hospital´sche Regel anwenden?
Eigentlich bräuchte ich eine allgemeine Erklärung ob es einen zusammenhang zwischen Definitionslücken/Polstellen und der Regel von L'Hospital gibt? Habe die Regel heute erst kennengelernt und bin mir über die Zusammenhänge noch nicht ganz im klaren.
Grüße
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Hallo Marius,
wieso sollte man denn nicht de l'Hôpital anwenden können?
Es ist doch [mm] $-\infty=-(\infty)$
[/mm]
Es liegt der Fall [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] vor.
Zweimalige Anwendung liefert den GW, den man mit Ausklammern (bzw. mit einem Blick) schnell erkennt ..
Gruß
schachuzipus
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danke für die schnelle antworten!
also bei solchen gebr.rationalen funktionen ist es quatsch sich um definitionslücken oder polstellen gedanken zu machen? einfach die bedingungen die für die hospitalsche regel nötig sind überprüfen und dann direkt anwenden?
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Hallo Skyfall,
de L'Hôpital ist ein bisschen wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen ...
Bei gebrochen-rationalen Funktionen hilft doch meist ein Blick auf die höchste Potenz der Limesvariable in Zähler und Nenner.
Hier ist man direkt fertig mit dem Ausklammern und anschließendem Kürzen von [mm] $x^2$ [/mm] in Zähler und Nenner ...
Du kannst dir ja mal überlegen, wie die Fälle:
1) höchste Zählerpotenz größer als höchste Nennerpotenz bei beiderseits positivem Vorzeichen.
2) Dasselbe mit einmal negativem Vorzeichen
3) umgekehrt
aussehen.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marius,
> Hallo
>
>
> > Begründen Sie ob/warum die Regel von L'Hospital
> angewendet
> > werden kann und bestimmen Sie den Grenzwert:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2*x^2+5*x}{-x^2+2x+1}[/mm]
>
> Hier kannst du die  LHospitalscheRegel nicht anwenden,
> da der "Zählergrenzwert" [mm]+\infty[/mm] wäre und er
> "Nennergrenzert" [mm]-\infty[/mm]
da bist Du aber ein bisschen arg penibel nach der Wikipedia-Formulierung
gegangen (ich sage auch immer, dass man bei de l'Hôpital als Voraussetzung
die Fälle [mm] "$0/0\,$" [/mm] und [mm] $\infty/\infty\,$ [/mm] - ggf. bis auf Vorzeichen - nehmen soll).
Wenn Du so penibel damit rechnest: Betrachte einfach
[mm] $$\frac{2*x^2+5*x}{\red{(-1)}\;*(-x^2+2x+1)}=(-1)*\frac{2*x^2+5*x}{-x^2+2x+1}\,.$$
[/mm]
(Schachuzipus sagte ja eigentlich das Gleiche!)
Ist 'n bisschen so wie (in einem anderen Zusammenhang)
"Bei dem Satz brauch' ich aber, dass die Funktion streng wächst.Ich habe
aber keine streng monoton wachsende Funktion [mm] $f\,,$ [/mm] sondern eine
streng monoton fallende..."
"Dann wende den Satz halt auf [mm] $g:=-f\,$ [/mm] an..."
(Nebenbei: Das sind die ganzen tollen Zusammenhänge, wie man direkt
aus bewiesenen Aussagen wie "Jede streng wachsende und nach oben
beschränkte Folge ist konvergent!" direkt erschließen kann, dass auch
jede streng fallende und nach unten beschränkte Folge konvergiert. Das
wollte ich nur nochmal generell in Erinnerung rufen, auch so relativ banale
Aussagen wie [mm] $\sup M=-\inf(-M)\,$ [/mm] mit [mm] $-M:=\{-m:\;\;m \in M\}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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PS:
Es heißt "Vorgehensweise" (mit weichem "s") ...
Oder wolltest du irgendwas weiß anstreichen? 
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Begründen Sie ob/warum die Regel von L'Hospital angewendet
> werden kann und bestimmen Sie den Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2*x^2+5*x}{-x^2+2x+1}[/mm]
na, es wurde ja schon gesagt, dass die Aufgabe eigentlich ein Mittel verwendet,
welches in dieser Stärke nicht benötigt wird (sinnvoller wäre es, wenn
wenigstens etwa im Zähler sowas wie [mm] $e^x\,$ [/mm] auftauchen würde...)
Nichtsdestotroz:
Der Zähler und der Nenner strebt betragsmäßig gegen [mm] $\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty\,.$
[/mm]
Damit gilt:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{2*x^2+5*x}{-x^2+2x+1}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4*x+5}{-2x+2}$$
[/mm]
- sofern denn der Grenzwert rechterhand existent ist - nach de l'Hôpital.
Nun solltest Du Dir in berechtigter Weise die Frage stellen:
Woher weiß ich denn, ob
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4*x+5}{-2x+2}$$
[/mm]
überhaupt existiert?
Nunja: $4x+5 [mm] \to \infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] und $-2x+2 [mm] \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to \infty$ [/mm] - also wieder: Zähler
und Nenner streben beide betragsmäßig gegen [mm] $\infty\,.$ [/mm] Wieder nach de l'Hôpital gilt also:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4*x+5}{-2x+2}=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{4}{-2}\,.$$
[/mm]
Wunderbar: Denn [mm] $\lim_{x \to \infty} \tfrac{4}{-2}=\lim_{x \to \infty} [/mm] -2=-2$ ist offensichtlich.
Jetzt baue das einfach zusammen.
P.S. Die Regeln, die Schachuzipus erwähnte, kannst Du Dir natürlich auch
genauso herleiten, denn auch der Grenzwert [mm] $+\infty$ [/mm] (ebenso [mm] $-\infty$) [/mm] ist bei de l'Hôpital erlaubt.
Bspw. darf man durchaus sagen:
[mm] $$\lim_{x \to \infty} \tfrac{x^3}{x+7}=\lim_{x \to \infty} \tfrac{3x^2}{1}=\lim_{x \to \infty}3x^2=+\infty\,,$$
[/mm]
und das rechtsstehende [mm] $+\infty$ [/mm] darf bei de l'Hôpital auch stehen:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital
Zitat: "...gegen einen Wert c konvergiert oder bestimmt divergiert, so tut..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
Das, was Schachu meinte, findest Du mit vielen Beispielen relativ gut
hier (klick!)
erklärt (ab Seite 10 - davor ist das alles mit [mm] $\epsilon$ [/mm] etc. pp., das braucht
man bei derartigen Aufgaben nicht mehr, wenn man die Rechenregeln für KONVERGENTE
Folgen kennt und benutzen darf!)
(P.S. Dort sind Grenzwerte anscheinend stets [mm] $\in \IR\,,$ [/mm] d.h. weder [mm] $+\infty$ [/mm] noch
[mm] $-\infty$ [/mm] wäre erlaubt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:52 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Skyfall91 |
danke an alle, hab jetzt überall etwas raus und komme etwas besser zurecht!
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