L'Hospital für hol. Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Mo 02.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Sei f, g [mm] \in [/mm] H(U) U [mm] \subset \IC [/mm] offen.
Sei [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} [/mm] g(z)=0 und
[mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} [/mm] f(z)=0
Falls [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] existiert,
dann existiert [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}
[/mm]
und es gilt
[mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}=\limes_{z \rightarrow\ z} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] |
Da f und g holomorph sind, gibt es natürlich eine Potenzreihenentwicklung.
[mm] f=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}, g=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!} [/mm]
[mm] f'=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!} [/mm] , [mm] g'=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!}
[/mm]
[mm] \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}=\bruch{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!} }{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!}}
[/mm]
Der Bruch entspricht beinahe dem von f/g wenn man berücksichtigt, dass [mm] f(z_{0}=g(z_{0})=0 [/mm] ist und man [mm] (z-z_{0}) [/mm] kürzen kann. Allerdings verschieben sich die Fakultäten ein wenig, weshalb mir jetzt nicht klar ist, wieso das alles so klappt....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Mo 02.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest nur f/g als Potenzreihe hinschreiben, dann alle hüheren Potenzen von [mm] z-z_o=0 [/mm] setzen. was bleibt über? falls nicht auch f'=g'=0
bis dann, lula
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:47 Di 03.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
also wenn man berücksichtigt, das [mm] f(z_{0})=g(z_{0})=0 [/mm] ist und man einmal [mm] (z-z_{0}) [/mm] kürzen kann, bleibt:
[mm] \bruch{f}{g}=\bruch{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}
[/mm]
Da man ja den Grenzwert gegen [mm] z_{0} [/mm] betrachtet, fallen alle Summanden außer dem ersten weg. Also bleibt
[mm] \bruch{f'}{g'}
[/mm]
Ist das so korrekt? Falls ja hätte ich noch zwei weitere Fragen:
1. Gilt die l'Hospitalsche Regel auch für den Grenzwert +- [mm] \infty [/mm] (analog zum reellen Fall.
2. Kann man das eben bewiesene auch für meromorphe Funktionen zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 03.06.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schlecht formuliert der erste ist 0 [mm] f''*(z-z_o) /g'*(z-z_o) [/mm] bleibt und das kürzt sich
besser noch du kürzt zuert Z unnd N durch (z-z_90 und bildest dann den GW.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 04.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Ich mache es jetzt noch etwas ausführlicher. Fred wenn ich deinen Vorschlag richtig sehe, machst du im Prinzip das selbe, nur das du die Reihen als holomorphe Funktionen [mm] f_{1} [/mm] bzw. [mm] g_{1} [/mm] auffasst?
Hier mein Vorschlag:
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}} =\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}} [/mm] =
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(z_{0})+\bruch{f(z_{0})}{z-z_{0}} + \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0)+ \bruch{g(z_0) }{z-z_{0}}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{f'(z_{0}) +\limes_{z\rightarrow z_{0}} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0) +\limes_{z\rightarrow z_{0}} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}= \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}
[/mm]
Ok und nun bin ich der Meinung das bei Grenzübergang die Reihe Null wird. Stimmt das so? Es wundert mich etwas, denn den Limes und die Reihe darf/kann man ja nicht vertauschen. Reicht als Argument das jeder der unendlich vielen Summanden hier Null wird?
Und ist das auch sonst so in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich mache es jetzt noch etwas ausführlicher. Fred wenn ich
> deinen Vorschlag richtig sehe, machst du im Prinzip das
> selbe, nur das du die Reihen als holomorphe Funktionen
> [mm]f_{1}[/mm] bzw. [mm]g_{1}[/mm] auffasst?
>
> Hier mein Vorschlag:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}} =\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}[/mm]
> =
>
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(z_{0})+\bruch{f(z_{0})}{z-z_{0}} + \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0)+ \bruch{g(z_0) }{z-z_{0}}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{f'(z_{0}) +\limes_{z\rightarrow z_{0}} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0) +\limes_{z\rightarrow z_{0}} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}= \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}[/mm]
>
> Ok und nun bin ich der Meinung das bei Grenzübergang die
> Reihe Null wird. Stimmt das so?
Ja.
> Es wundert mich etwas, denn
> den Limes und die Reihe darf/kann man ja nicht vertauschen.
Natürlich darf man das ! Warum ??
> Reicht als Argument das jeder der unendlich vielen
> Summanden hier Null wird?
Nein.
> Und ist das auch sonst so in Ordnung?
Nein. Was ist denn, wenn [mm] g'(z_0)=0 [/mm] ist ? Was bedeutet es den überhaupt, dass $ [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] $ existiert ??
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:10 Mi 04.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Nunja, also ich wusste nicht das man einen Limes problemlos in eine Reihe ziehen kann. Ab wann ist mein Argument denn fehlerhaft? Ich mache mal an dem Punkt weiter wo es zu hacken scheint.
Ich kann den Limes ja in Nenner und Zähler ziehen (in der Hoffnung das beide konvergieren, falls nein würde es ja schief gehen..) Ist das so zulässig? Ansonsten weiß ich auch nicht, wie ich [mm] f'(z_0)/g'(z_0) [/mm] brauchbar isloieren kann...
[mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(z_{0})+\bruch{f(z_{0})}{z-z_{0}} + \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0)+ \bruch{g(z_0) }{z-z_{0}}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}} [/mm]
= [mm] \bruch{\limes_{z\rightarrow z_{0}}( f'(z_{0})+\bruch{f(z_{0})}{z-z_{0}} + \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!})}{\limes_{z\rightarrow z_{0}} (g'(z_0)+ \bruch{g(z_0) }{z-z_{0}}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{ g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!})} [/mm] =
[mm] \bruch{\limes_{z\rightarrow z_{0}}( f'(z_{0})+ \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!})}{\limes_{z\rightarrow z_{0}} (g'(z_0)+ \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{ g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!})}
[/mm]
=
[mm] \bruch{( f'(z_{0})+ \summe_{n=2}^{\infty}\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!})}{ (g'(z_0)+ \summe_{n=2}^{\infty} \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{ g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!})}
[/mm]
= [mm] \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}
[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil [mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} =\bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] nach Vorraussetzung existiert. Es gilt dann: [mm] \limes_{z\rightarrow z_{0}} =\bruch{f'(z)}{g'(z)}=
[/mm]
[mm] \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Mi 11.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Es wäre schön, wenn noch jemand ein Statement abgeben würde, ob das was ich noch gezeigt habe völlig blödsinnig ist, oder so in Ordnung geht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nunja, also ich wusste nicht das man einen Limes problemlos
> in eine Reihe ziehen kann.
i.a. darf man das auch nicht. Aber z.B. bei Potenzreihen hat man im inneren
ihres Konvergenzkreises damit absolut keine Probleme - warum?
Generell: Du hast Sätze über Funktionenfolgen gelernt. Sicher auch welche
über Funktionenreihen (welche ja auch nur spezielle Funktionenfolgen sind,
per Definitionem).
Wenn Du etwas machen willst, von dem Du weißt, dass das i.a. nicht geht,
dann schlag' nach, welche Voraussetzungen in entsprechenden Sätzen
gegeben sind, so dass man das doch machen darf. Und dann prüfe nach,
ob Du die Voraussetzungen zur Anwendung eines dieser Sätze gegeben
hast.
Z.B. kann man bei Potenzreihen noch mehr sagen, als, dass sie nur im
Inneren ihres Konvergenzkreises stetig sind - sie sind dort sogar unendlich
oft differenzierbar und man darf dort "Summanndenweise" differenzieren.
Solch' einen Satz etwa findest Du sicher in Deinen Unterlagen. Ob und
wenn ja: Inwiefern so etwas hier hilft, das musst bzw. solltest Du halt
selbst ausprobieren, denn so verfestigt sich das zu Lernende wesentlich
besser in Deinem Gedächtnis.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 13.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mi 11.06.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Ich mache es jetzt noch etwas ausführlicher. Fred wenn ich
> deinen Vorschlag richtig sehe, machst du im Prinzip das
> selbe, nur das du die Reihen als holomorphe Funktionen
> [mm]f_{1}[/mm] bzw. [mm]g_{1}[/mm] auffasst?
>
> Hier mein Vorschlag:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}} =\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}[/mm]
> =
>
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(z_{0})+\bruch{f(z_{0})}{z-z_{0}} + \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0)+ \bruch{g(z_0) }{z-z_{0}}+\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{f'(z_{0}) +\limes_{z\rightarrow z_{0}} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}{g'(z_0) +\limes_{z\rightarrow z_{0}} \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n!}}= \bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{f'(\red{z_{0}})}{g'(\red{z_{0}})}[/mm]
die letzte Gleichheit ist doch sehr langweilig - sicher wolltest Du dort [mm] $z\,$ [/mm]
anstatt der roten [mm] $z_0$ [/mm] schreiben?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 Do 12.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Hallo,
ja das sollen z sein. Ist das sonst gut so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:48 Do 12.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ja das sollen z sein. Ist das sonst gut so?
Ich hab Dich schon mal gefragt (allerdings bist Du nicht drauf ein gegangen !):
Was ist denn, wenn $ [mm] g'(z_0)=0 [/mm] $ ist ? Was bedeutet es den überhaupt, dass $ [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] $ existiert ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Sa 14.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Naja die Existenz von [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] bedeutet, das der Grenzwert existiert (und unabhängig von der Wahl der Folge) eindeutig ist. Falls [mm] g(z_0)= [/mm] 0 wäre, müsste man eine stetige Fortsetzung wählen und [mm] \bruch{f'(z_0)}{g'(z_0)} [/mm] den (existierenden und eindeutigen) Grenzwert zuweisen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:04 Sa 14.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Naja die Existenz von [mm]\limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)}[/mm]
> bedeutet, das der Grenzwert existiert
Du schreibst (nur anders formuliert): der Grenzwert ex. , wenn der Grenzwert ex.
> (und unabhängig von
> der Wahl der Folge) eindeutig ist. Falls [mm]g(z_0)=[/mm] 0 wäre,
Du meinst [mm] g'(z_0)
[/mm]
> müsste man eine stetige Fortsetzung wählen und
> [mm]\bruch{f'(z_0)}{g'(z_0)}[/mm] den (existierenden und
> eindeutigen) Grenzwert zuweisen.
Puuuh ...
Fall 1: [mm] g'(z_0) \ne [/mm] 0. Dann ist die Ex. von $ [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] $ kein Problem.
Fall 2: [mm] g'(z_0)=0. [/mm] Sei m die Vielfachheit der Nullstelle [mm] z_0 [/mm] von f und k die Vielfachheit der Nullstelle [mm] z_0 [/mm] von g. Aus der Ex. von $ [mm] \limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] $ folgt dann m [mm] \ge [/mm] k.
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:36 Sa 14.06.2014 | | Autor: | havoc1 |
Ich bin vllt. etwas schwer von Begriff, aber wieso nun die Vielfachheit der Nullstellen?
Ich sehe das nicht so ganz. Bedeutet das, das für den Fall das [mm] g'(z_0)=0 [/mm] ist l'Hosp erstmal schief geht (mal abgesehen davon, das man versuchen kann erneut abzuleiten).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 16.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 13.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mi 04.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei f, g [mm]\in[/mm] H(U) U [mm]\subset \IC[/mm] offen.
> Sei [mm]\limes_{z \rightarrow\ z_{0}}[/mm] g(z)=0 und
> [mm]\limes_{z \rightarrow\ z_{0}}[/mm] f(z)=0
> Falls [mm]\limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f'(z)}{g'(z)}[/mm]
> existiert,
> dann existiert [mm]\limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}[/mm]
>
> und es gilt
> [mm]\limes_{z \rightarrow\ z_{0}} \bruch{f(z)}{g(z)}=\limes_{z \rightarrow\ z} \bruch{f'(z)}{g'(z)}[/mm]
>
> Da f und g holomorph sind, gibt es natürlich eine
> Potenzreihenentwicklung.
>
> [mm]f=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}, g=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n}}{n!}[/mm]
>
> [mm]f'=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!}[/mm]
> , [mm]g'=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{f'(z_{0})}{g'(z_{0})}=\bruch{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!} }{\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{g^{(n)}(z_{0})*(z-z_{0})^{n-1}}{n-1!}}[/mm]
>
>
> Der Bruch entspricht beinahe dem von f/g wenn man
> berücksichtigt, dass [mm]f(z_{0}=g(z_{0})=0[/mm] ist und man
> [mm](z-z_{0})[/mm] kürzen kann. Allerdings verschieben sich die
> Fakultäten ein wenig, weshalb mir jetzt nicht klar ist,
> wieso das alles so klappt....
Ich zeig Dir mal, wie es geht, wenn f und g in [mm] z_0 [/mm] jeweils eine einfache Nullstelle haben (den allgemeinen Fall darfst Du Dir selbst überlegen):
In diesem Fall gibt es $ [mm] f_1,g_1 \in [/mm] H (U) $ mit:
$ f(z)= [mm] (z-z_0)f_1(z) [/mm] $, $ g(z)= [mm] (z-z_0)g_1(z) [/mm] $ für $ z [mm] \in [/mm] U $
und
$ [mm] f'(z_0)=f_1(z_0) \ne [/mm] 0 $, $ [mm] g'(z_0)=g_1(z_0) \ne [/mm] 0 $
Dann folgt:
$ [mm] \bruch{f(z)}{g(z)}= \bruch{f_1(z)}{g_1(z)} [/mm] $
also
$ [mm] \limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{f(z)}{g(z)}= \limes_{z\rightarrow z_0}\bruch{f_1(z)}{g_1(z)}= \bruch{f'(z_0)}{g'(z_0)}= \limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{f'(z)}{g'(z)} [/mm] $
FRED
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