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Hallo!
Ich lerne gerade fürs Abi, die Uhr scheint immer lauter und schneller zu ticken. Na gut...
Also, ich habe eine Lernhilfe und da steht bezüglich des asymptotischen Verhaltens bei gebrochenrationalen Funktionen drin, dass man auch die L'Hospitalschen Regeln benutzen kann. Dummerweise sind die aber nicht erklärt. In meinem LK-Buch finde ich sie auch nicht und im Unterricht haben wir das Verhalten der gebrochenrationalen Funktionen immer mit Betrachtung der höchsten Grade untersucht. Aber der Formelsammlung bin ich fündig geworden:
Voraussetzungen:
- f und g sind im Definitionsbereich ableitbar
- f(a) = g(a) = 0
- lim f'(x)=A und lim g'(x)=B
Dann gilt:
lim (gegen a) f(x)/g(x) = lim (gegen a) f'(x)/g'(x) = A/B
Bisher bin ich mit der Methode, die wir im Unterricht benutzt haben immer gut ausgekommen, aber ich sehe ein, dass ich bei Funktionstypen, der Form f(x) = [mm] (x^n)/(e^x) [/mm] und nEN
damit nicht weiterkomme. Mein Problem ist jetzt aber, dass ich nicht weiß, wie ich das Verhalten, dieser Funktion im Unendlichen untersuchen soll. Nach der ersten Voraussetzung müsste ja der Nenner und der Zähler für "Unendlich" Null werden. Das ist aber nicht so. Was nun?
Außerdem habe ich noch eine Frage zu ganzrationalen Funktionen.
z.B. f(x) = [mm] x^3
[/mm]
Gut, für ganz kleine Funktionswerte läuft der Graph gegen negativ unendlich und für ganz große Funktionswerte läuft der Graph gegen positiv Unendlich. Aber kann man das nicht genauer bestimmen. Ich meine: gibt es eine Möglichkeit einen Graphen zu bestimmen, an dem sich der Garph von f annähert?
viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella!
> Ich lerne gerade fürs Abi, die Uhr scheint immer lauter
> und schneller zu ticken. Na gut...
Finde ich gut, dass du bereits am ersten Ferientag für's Abi lernst (jedenfalls sind jetzt in NRW Schulferien).
> Also, ich habe eine Lernhilfe und da steht bezüglich des
> asymptotischen Verhaltens bei gebrochenrationalen
> Funktionen drin, dass man auch die L'Hospitalschen Regeln
> benutzen kann. Dummerweise sind die aber nicht erklärt. In
> meinem LK-Buch finde ich sie auch nicht und im Unterricht
> haben wir das Verhalten der gebrochenrationalen Funktionen
> immer mit Betrachtung der höchsten Grade untersucht. Aber
Wenn ihr die  Regeln von l'Hospital im Unterricht nicht besprochen habt, halte ich es für sehr unwahrscheinlich, dass sie dann im Abi vorausgesetzt werden (können). Da sie aber zur "Allgemeinbildung in Mathe" dazugehören, würde ich sie aber trotzdem lernen.
> der Formelsammlung bin ich fündig geworden:
> Voraussetzungen:
> - f und g sind im Definitionsbereich ableitbar
> - f(a) = g(a) = 0
> - lim f'(x)=A und lim g'(x)=B
>
> Dann gilt:
>
> lim (gegen a) f(x)/g(x) = lim (gegen a) f'(x)/g'(x) = A/B
In dieser Form kenne ich keine Regel von l'Hospital (es sind ja mindestens zwei Regeln). Wenn hier [mm] $A,B\in\{-\infty,+\infty\}$ [/mm] gemeint ist, dann kenne ich sie schon, falls nicht, dann ist die Voraussetzung [mm] $\limes [/mm] f'(x)=A$ und [mm] $\limes [/mm] g'(x)=B$ zu "stark", denn es reicht zu fordern, dass [mm] $\limes \bruch{f'(x)}{g'(x)}=C$ [/mm] existiert.
Zum Vergleich habe ich die Regeln von l'Hospital auch in unsere MatheBank gestellt.
> Bisher bin ich mit der Methode, die wir im Unterricht
> benutzt haben immer gut ausgekommen, aber ich sehe ein,
> dass ich bei Funktionstypen, der Form f(x) = [mm] (x^n)/(e^x) [/mm]
> und nEN
> damit nicht weiterkomme. Mein Problem ist jetzt aber, dass
> ich nicht weiß, wie ich das Verhalten, dieser Funktion im
> Unendlichen untersuchen soll. Nach der ersten Voraussetzung
> müsste ja der Nenner und der Zähler für "Unendlich" Null
> werden. Das ist aber nicht so. Was nun?
Es stimmt, dass deine bisherige Methode nur für gebrochen-rationale Funktionen anwendbar ist, und deswegen an deiner Beispielfunktion scheitert.
Für diesen Fall gibt es eine eigene l'Hospitalsche Regel, nämlich die vom Typ [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] (siehe unsere MatheBank).
Probier' es doch mal und teile uns deine Ergebnisse mit.
> Außerdem habe ich noch eine Frage zu ganzrationalen
> Funktionen.
> z.B. f(x) = [mm] x^3
[/mm]
> Gut, für ganz kleine Funktionswerte läuft der Graph gegen
> negativ unendlich und für ganz große Funktionswerte läuft
> der Graph gegen positiv Unendlich. Aber kann man das nicht
> genauer bestimmen. Ich meine: gibt es eine Möglichkeit
> einen Graphen zu bestimmen, an dem sich der Garph von f
> annähert?
Nein, das gibt es nicht. Ich nehme an, du willst so was ähnliches wie eine Asymptote für [mm] $x^3$ [/mm] angeben. Die Asymptoten ermittelt man doch aber nur, weil sie sehr viel einfacher als die ursprüngliche Funktion aufgebaut sind und trotzdem das "Verhalten" dieser Funktion an einer bestimmten Stelle oder im "Unendlichen" charakterisieren, weil sie dort der Funktion beliebig nahe kommen. Insofern ist [mm] $x^3$ [/mm] doch schon eine sehr einfache Funktion, noch einfacher geht nicht (jedenfalls nicht ohne große Abweichungen von der Originalfunktion).
Frage bitte unbedingt nach, wenn du was nicht verstanden hast, ich erkläre es dann gerne ausführlicher.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc!
So, ich habe mir jetzt die L'Hospitalschen Regeln von der Mathebank ausgedruckt und sich durchgearbeitet. Ich verstehe sie. Nur habe ich eine kleine Frage:
zur zweiten Regel - ist es egal, wenn z.B. f gegen minus Unendlich und g gegen plus Unendlich strebt? Also, was ich meine ist, ob es okay ist, wenn eine Funktion gegen minus Unendlich und die andere gegen plus Unendlich strebt, oder müssen beide Funktionen entweder gegen minus oder plus Unendlich streben.
Ich vermute das Vorzeichen des Unendlich ist egal, oder?
Zu meiner Beispielfunktion.
Es gibt die Regel 2b.
Wenn ich es ganz oft ableite steht dort
lim [mm] (n!*x^{n-n}/e^x) [/mm] = lim [mm] (n!/e^x) [/mm] = 0
Kann man generell sagen, dass ich die Regel so oft anwende, bis eine Konstante erscheint? Bzw.: wann muss ich aufhören die Regel anzuwenden?
Viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 So 04.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo dancingestrella!
> So, ich habe mir jetzt die L'Hospitalschen Regeln von der
> Mathebank ausgedruckt und sich durchgearbeitet. Ich
> verstehe sie. Nur habe ich eine kleine Frage:
> zur zweiten Regel - ist es egal, wenn z.B. f gegen minus
> Unendlich und g gegen plus Unendlich strebt? Also, was ich
> meine ist, ob es okay ist, wenn eine Funktion gegen minus
> Unendlich und die andere gegen plus Unendlich strebt, oder
> müssen beide Funktionen entweder gegen minus oder plus
> Unendlich streben.
> Ich vermute das Vorzeichen des Unendlich ist egal, oder?
Das ist richtig. Das läßt sich ganz leicht so einsehen:
Angenommen, [mm] \limes_{x\to\infty}f(x)=-\infty [/mm] und [mm] \limes_{x\to\infty}g(x)=+\infty
[/mm]
Dann betrachtet man einfach den Quotienten
[mm] \bruch{-f(x)}{g(x)}
[/mm]
Wenn nun nach der zweiten Regel von l'Hospital gilt
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{-f(x)}{g(x)}=\limes_{x\to\infty}\bruch{-f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
dann gilt für
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=-\limes_{x\to\infty}\bruch{-f(x)}{g(x)}=-\limes_{x\to\infty}\bruch{-f'(x)}{g'(x)}=\limes_{x\to\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
(Das erste und dritte Gleichheitszeichen gilt nach den Grenzwertsätzen, das zweite ist gerade die zweite Regel von l'Hospital.)
> Zu meiner Beispielfunktion.
> Es gibt die Regel 2b.
> Wenn ich es ganz oft ableite steht dort
> lim [mm] (n!*x^{(n-n)}/e^x) [/mm] = lim [mm] (n!/e^x) [/mm] = 0
>
> Kann man generell sagen, dass ich die Regel so oft anwende,
> bis eine Konstante erscheint? Bzw.: wann muss ich aufhören
> die Regel anzuwenden?
Du mußt dann aufhören, wenn der Zähler nicht mehr gegen [mm] \infty [/mm] geht!
Wenn du die Regel (n-1)-mal anwendest, haben wir ja im Zähler stehen [mm] $(n-1)!*x^1$.
[/mm]
Der Zähler geht also weiterhin gegen [mm] \infty [/mm] für [mm] x\to\infty [/mm] .
Wendet man l'Hospital erneut an (also insgesamt zum n-ten Mal), so haben wir nur noch $n!$ im Zähler stehen, was nicht mehr gegen [mm] \infty [/mm] läuft für [mm] x\to\infty [/mm] (n! ist schließlich konstant n!).
Du mußt also bei jeder Anwendung des l'Hospital prüfen, ob noch die Voraussetzungen für eine nächste Anwendung gegeben sind.
Alles Gute,
Marc
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Hallo Marc!
Danke für deine Erklärungen bezüglich der L'Hospitalschen Regeln.
Ich werden nun ein paar Übungsaufgaben aus meiner Lernhilf dazu rechnen, dann sehe ich ja, ob es richtig ist und wo ich die Regeln kenne, geht es auch!
Nochmal vielen Dank!!
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