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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | herbi_m |
| Aufgabe | Bestimme die Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\1} (x^{n+1} [/mm] - x) / [mm] (x^{n+1} [/mm] -1)
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ln (x) / [mm] \wurzel{3}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{3} [/mm] e ^{-x} |
Ich habe mir nun folgendes überlegt, komme das aber nicht weiter. Wäre also super, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich kann die Grenzwerte ja in EInzelgrenzwerte zerlegen, sodass ich für a) beispielsweise [mm] \limes_{x\rightarrow\1} x^{n+1} [/mm] - x und [mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] x ^{n+1} - 1 erhalte. Wenn ich nun jedes x gegen 1 laufen lasse, bekomme ich den Fall 0/0 heraus.
Also bilde ich jeweils die erste Ableitung und wende darauf den limes an.
[mm] \limes_{x\rightarrow\1} [/mm] ((n+1) [mm] x^{n} [/mm] - 1)/(n+1) [mm] x^{n}
[/mm]
nur jetzt weiß ich leider nicht weiter...
Für b) erhalte ich den Fall unendlich/ unendlich
Der Ableitungsausdruck lautet (1/x)/(1/2 [mm] \wurzel{x})
[/mm]
Für c) komme ich auf den Fall unendlich mal null
das heißt doch, dass ich das ganze dann irgendwie umformen muss, oder?! Kann ich das dann so umformen:
[mm] (e^{-x})/(1/ln [/mm] (x))? Ich würde doch dann den Fall null/null erhalten oder?!
Soweit, so gut, aber wie mache ich nun weiter?? Ich sitze da jetzt echt schon total lange vor und komme einfach nicht weiter. Es wäre also super liebt, wenn mir einer mit den Rechenwegen helfen könnte, da ich das am Montag haben muss...
Lieben Dank!
herbi!
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Hallo herbi_m,
> Bestimme die Grenzwerte:
> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\1} (x^{n+1}[/mm] - x) / [mm](x^{n+1}[/mm] -1)
Du musst den Backslash vor der 1 weglassen, dann wird sie auch angezeigt.
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] ln (x) / [mm]\wurzel{3}[/mm]
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^{3}[/mm] e ^{-x}
> Ich habe mir nun folgendes überlegt, komme das aber nicht
> weiter. Wäre also super, wenn mir jemand helfen könnte.
> Ich kann die Grenzwerte ja in EInzelgrenzwerte zerlegen,
> sodass ich für a) beispielsweise [mm]\limes_{x\rightarrow\1} x^{n+1}[/mm] - x und [mm]\limes_{x\rightarrow\1}[/mm] x ^{n+1} - 1 erhalte. Wenn
> ich nun jedes x gegen 1 laufen lasse, bekomme ich den Fall
> 0/0 heraus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also bilde ich jeweils die erste Ableitung und wende darauf
> den limes an.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\1}[/mm] ((n+1) [mm]x^{n}[/mm] - 1)/(n+1) [mm]x^{n}[/mm]
> nur jetzt weiß ich leider nicht weiter...
Na, was sagt denn de l'Hôpital? Betrachte hier mal [mm]\lim\limits_{x\to 1}\frac{(n+1)x^n-1}{(n+1)x^n}[/mm]
>
> Für b) erhalte ich den Fall unendlich/ unendlich
> Der Ableitungsausdruck lautet (1/x)/(1/2 [mm]\wurzel{x})[/mm]
Also stand in der Aufgabe [mm]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{\red{x}}}[/mm] und nicht [mm]\sqrt{\red{3}}[/mm]
Dann stimmt dein Ableitungsausdruck (bis auf eine fehlende Klammer im letzten Nenner - Punkt- vor Strichrechnung beachten!!).
Schreibe den Ausdruck doppelbruchfrei und lasse [mm]x\to\infty[/mm] gehen.
>
> Für c) komme ich auf den Fall unendlich mal null
> das heißt doch, dass ich das ganze dann irgendwie
> umformen muss, oder?!
Jo!
> Kann ich das dann so umformen:
> [mm](e^{-x})/(1/ln[/mm] (x))? Ich würde doch dann den Fall
> null/null erhalten oder?!
Es ist doch [mm]x^3\cdot{}e^{-x}=\frac{x^3}{e^x}[/mm] und das strebt für [mm]x\to\infty[/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Nun 3mal de l'Hôpital anwenden ...
>
> Soweit, so gut, aber wie mache ich nun weiter?? Ich sitze
> da jetzt echt schon total lange vor und komme einfach nicht
> weiter. Es wäre also super liebt, wenn mir einer mit den
> Rechenwegen helfen könnte, da ich das am Montag haben
> muss...
Jo, das haste in 5 Minuten 
>
> Lieben Dank!
> herbi!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | herbi_m |
Gut, fange ich mal bei Aufgabe c) an.
[mm] x^{3}/e^{x} [/mm] Ich erhalte den Fall unendlich/unendlich
Wenn ich nun den Ableitungsausdruck bilde, erhalte ich immer noch für x gegen unendlich den Fall undendlich/unendlich, da der Ableitungsausdruck [mm] 3x^{2}/e^{x} [/mm] lautet. Und auch wenn ich die zweite Ableitung bilde erhalte ich immer noch unendlich/unendlich... das Bringt mir doch nichts, oder?!!
Bei a) lautet mein Ableitungsausdruck ja [mm] ((n+1)x^{n} [/mm] -1) / ((n+1) [mm] x^{n}) [/mm] , das kann ich ja umformulieren in [mm] [(n+1)x^{n}/ (n+1)x^{n}] [/mm] - [1/ [mm] (n+1)x^{n}] [/mm] = 1 - 1/ [mm] (n+1)x^{n} [/mm] wenn jetzt x gegen unendlich läuft, dann wird der Nenner im zweiten Teil immer größer und somit der Bruch 1/ [mm] (n+1)x^{n} [/mm] immer kleiner und der Term läuft gegen 1?!
Bei b) habe ich leider keine Ahnung, wie ich den Doppelbruch wegbekomme. Steht dann da 2 [mm] \wurzel{x} [/mm] mal x ??! und dann würde da unendlich mal unendlich stehen und das kann ja irgendwie auch nicht richtig sein, oder?!
Liebe Grüße und vielen Dank!
herbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
a)$ [mm] ((n+1)x^{n} [/mm] $ -1) / ((n+1) $ [mm] x^{n}) [/mm] $ da Z und N bei x+1 nicht 0 werden setz einfach x=1 ein.
b) den Doppelbruch musst du schon selbst richtig aufloesen! einfach mit dem Nenner [mm] 1/2\wurzel{x} [/mm] erweitern.
c) immer weiter L'Hopital, im Zweifelsfall exponentialreihe bemuehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Di 03.01.2012 | | Autor: | herbi_m |
erhalte ich dann für a) einfach n/(n+1)?! oder muss ich das noch weiter auflösen?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 03.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja! was willst du da noch aufloeseN???
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Di 03.01.2012 | | Autor: | herbi_m |
Keine Ahnung, sah nur irgendwie komisch aus....
für Aufgabe c) habe ich jetzt übrigens null raus als Grenzwert.
Danke schon mal!
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