L'hopital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Fr 25.05.2012 | | Autor: | db60 |
[mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)} [/mm]
Wie kann ich das so ableiten oder umformen, dass der tan irgendwie verschwindet ?
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Hallo db60,
mach bitte für jede Aufgabe einen neuen Thread auf, sonst wird es hier schnell chaotisch. Es hilft auch Dir, die Antworten auf Deine Fragen nachzuverfolgen, und uns hilft es, sie zu beantworten bzw. Dir eine geeignete Hilfestellung zu geben.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}[/mm]
>
>
> Wie kann ich das so ableiten oder umformen, dass der tan
> irgendwie verschwindet ?
Wenn Dein Ziel ist, die trigonometrischen Funktionen ganz wegzubekommen, wird der Aufwand wohl recht hoch sein.
Das Additionstheorem für tan(5x) steht ![[]](/images/popup.gif) hier zwar nicht, aber Du kannst es Dir auch den Formeln für Sinus und Cosinus ja leicht herleiten.
Mir scheint es einfacher, den Tangens durch den Kotangens zu ersetzen (also die Seiten des Bruchs zu tauschen), aber ich mag mich irren.
Noch einfacher wäre ein komplexer Ansatz. Kennst Du die Moivre-Formel?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:42 Fr 25.05.2012 | | Autor: | db60 |
> Hallo db60,
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> mach bitte für jede Aufgabe einen neuen Thread auf, sonst
> wird es hier schnell chaotisch. Es hilft auch Dir, die
> Antworten auf Deine Fragen nachzuverfolgen, und uns hilft
> es, sie zu beantworten bzw. Dir eine geeignete
> Hilfestellung zu geben.
>
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}[/mm]
> >
> >
> > Wie kann ich das so ableiten oder umformen, dass der tan
> > irgendwie verschwindet ?
>
> Wenn Dein Ziel ist, die trigonometrischen Funktionen ganz
> wegzubekommen, wird der Aufwand wohl recht hoch sein.
>
> Das Additionstheorem für tan(5x) steht
> hier
> zwar nicht, aber Du kannst es Dir auch den Formeln für
> Sinus und Cosinus ja leicht herleiten.
>
> Mir scheint es einfacher, den Tangens durch den Kotangens
> zu ersetzen (also die Seiten des Bruchs zu tauschen), aber
> ich mag mich irren.
>
> Noch einfacher wäre ein komplexer Ansatz. Kennst Du die
> Moivre-Formel?
Also Moivre, kenn ich nur im Zusammenhang mit komplexen Zahlen. Kann man mit Moivre Grenzwerte bestimmen ?
>
> Grüße
> reverend
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo db60,
> >
> > mach bitte für jede Aufgabe einen neuen Thread auf, sonst
> > wird es hier schnell chaotisch. Es hilft auch Dir, die
> > Antworten auf Deine Fragen nachzuverfolgen, und uns hilft
> > es, sie zu beantworten bzw. Dir eine geeignete
> > Hilfestellung zu geben.
> >
> > > [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}[/mm]
> > >
> > >
> > > Wie kann ich das so ableiten oder umformen, dass der tan
> > > irgendwie verschwindet ?
> >
> > Wenn Dein Ziel ist, die trigonometrischen Funktionen ganz
> > wegzubekommen, wird der Aufwand wohl recht hoch sein.
> >
> > Das Additionstheorem für tan(5x) steht
> >
> hier
> > zwar nicht, aber Du kannst es Dir auch den Formeln für
> > Sinus und Cosinus ja leicht herleiten.
> >
> > Mir scheint es einfacher, den Tangens durch den Kotangens
> > zu ersetzen (also die Seiten des Bruchs zu tauschen), aber
> > ich mag mich irren.
> >
> > Noch einfacher wäre ein komplexer Ansatz. Kennst Du die
> > Moivre-Formel?
>
> Also Moivre, kenn ich nur im Zusammenhang mit komplexen
> Zahlen. Kann man mit Moivre Grenzwerte bestimmen ?
mit de Moivre kannst Du evtl. Vereinfachungen treffen, und dann damit eventuell einen Grenzwert besser erkennen (ähnlich wie man bei [mm] $\lim_{x \to 0}(x^2-1)/(x+1)=\lim_{x \to 0}(x-1)=-1$ [/mm] mit der dritten binomischen Formel vorangekommen ist).
Aber Du gibst der Aufgabe
$$ [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}$$ [/mm]
doch selber die Überschrift "de l'Hospital"? Warum machst Du das nicht damit?
$$ [mm] \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}= \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{(tan(5x))'}{(tan(x))'}$$ [/mm]
Nun kannst Du erstmal [mm] $\tan'(x)=1/\cos^2(x)$ [/mm] und das auch daraus mithilfe der Kettenregel folgende Ergebnis
[mm] $$(\tan(5x))'=5/\cos^2(5x)$$
[/mm]
benutzen.
Danach nochmal de l'Hospital anwenden, kürzen soweit geht und günstig kann es auch sein, [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] zu kennen:
Denn um [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\sin(10x)/\sin(2x)$ [/mm] zu berechnen, kann man so vorgehen:
Man nutzt [mm] $\lim_{x \to 0}(\sin(x)/x)=1$ [/mm] (wichtig ist, dass [mm] $\sin(x) \to [/mm] 0$ und $x [mm] \to [/mm] 0$ gehen, wenn nur $x [mm] \to x_0$ [/mm] geht - exemplarisch habe ich den Standardfall [mm] $x_0=0$ [/mm] dafür hingeschrieben, das geht aber auch für andere [mm] $x_0$: [/mm] welche?)
Also gilt auch [mm] $\lim_{x \to 0}(x/\sin(x))=1\,.$ [/mm] Und jetzt schreiben wir
[mm] $$\sin(10x)/\sin(2x)=10*\frac{\sin(10x)}{10x}*\frac{2x}{\sin(2x)}*\frac{1}{2}=5*\frac{\sin(10x)}{10x}*\frac{2x}{\sin(2x)}$$
[/mm]
für $x [mm] \not=0\,.$
[/mm]
P.S.
Gut, wenn Du richtig rechnest solltest Du irgendwann auf die Idee kommen, nicht [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\sin(10x)/\sin(2x)\,,$ [/mm] sondern [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\sin(2x)/\sin(10x)$ [/mm] zu berechnen. Aber zum einen: Das kann man entweder analog machen, oder man nutzt halt aus, dass, falls man die Existenz des einen Grenzwertes [mm] ($\not=0$) [/mm] hat, dass dann daraus auch die des anderen folgt und dass die Grenzwerte dann reziprok einander sind.
P.P.S.
Wenn Du alles korrekt rechnest, zur Kontrolle: Es sollte [mm] $1/5\,$ [/mm] rauskommen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Sa 26.05.2012 | | Autor: | db60 |
> mit de Moivre kannst Du evtl. Vereinfachungen treffen, und
> dann damit eventuell einen Grenzwert besser erkennen
> (ähnlich wie man bei [mm]\lim_{x \to 0}(x^2-1)/(x+1)=\lim_{x \to 0}(x-1)=-1[/mm]
> mit der dritten binomischen Formel vorangekommen ist).
>
> Aber Du gibst der Aufgabe
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}[/mm]
> doch selber die Überschrift "de l'Hospital"? Warum machst
> Du das nicht damit?
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}= \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{(tan(5x))'}{(tan(x))'}[/mm]
>
> Nun kannst Du erstmal [mm]\tan'(x)=1/\cos^2(x)[/mm] und das auch
> daraus mithilfe der Kettenregel folgende Ergebnis
> [mm](\tan(5x))'=5/\cos^2(5x)[/mm]
> benutzen.
Wenn ich das nochmal ableite bekomme ich [mm] \bruch{1}{cos^{2}(x)} [/mm] + [mm] \bruch{50*sin(5x)}{cos^{4}(5x)} [/mm]
Ist das so richtig ? Kann ich das noch weiter vereinfachen ?
>
> Danach nochmal de l'Hospital anwenden, kürzen soweit geht
> und günstig kann es auch sein, [mm]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/mm] zu
> kennen:
> Denn um [mm]\lim_{x \to \pi/2}\sin(10x)/\sin(2x)[/mm] zu berechnen,
Kommt das raus, wenn man die Anfangsgleichung sowohl Nenner als auch Zähler ableitet ?
> kann man so vorgehen:
> Man nutzt [mm]\lim_{x \to 0}(\sin(x)/x)=1[/mm] (wichtig ist, dass
Warum gilt dieser Zusammenhang ? [mm] lim_{sin(x) \to 0} [/mm] ist doch null und [mm] lim_{x \to 0} [/mm] = 0 ? das wäre doch 0 durch 0 und nicht lösbar weger der null im Nenner ?
> [mm]\sin(x) \to 0[/mm] und [mm]x \to 0[/mm] gehen, wenn nur [mm]x \to x_0[/mm] geht -
> exemplarisch habe ich den Standardfall [mm]x_0=0[/mm] dafür
> hingeschrieben, das geht aber auch für andere [mm]x_0[/mm]:
> welche?)
>
> Also gilt auch [mm]\lim_{x \to 0}(x/\sin(x))=1\,.[/mm] Und jetzt
> schreiben wir
>
> [mm]\sin(10x)/\sin(2x)=10*\frac{\sin(10x)}{10x}*\frac{2x}{\sin(2x)}*\frac{1}{2}=5*\frac{\sin(10x)}{10x}*\frac{2x}{\sin(2x)}[/mm]
> für [mm]x \not=0\,.[/mm]
>
> P.S.
> Gut, wenn Du richtig rechnest solltest Du irgendwann auf
> die Idee kommen, nicht [mm]\lim_{x \to \pi/2}\sin(10x)/\sin(2x)\,,[/mm]
> sondern [mm]\lim_{x \to \pi/2}\sin(2x)/\sin(10x)[/mm] zu berechnen.
> Aber zum einen: Das kann man entweder analog machen, oder
> man nutzt halt aus, dass, falls man die Existenz des einen
> Grenzwertes ([mm]\not=0[/mm]) hat, dass dann daraus auch die des
> anderen folgt und dass die Grenzwerte dann reziprok
> einander sind.
>
> P.P.S.
> Wenn Du alles korrekt rechnest, zur Kontrolle: Es sollte
> [mm]1/5\,[/mm] rauskommen!
>
> Gruß,
> Marcel
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Hallo,
> Wenn ich das nochmal ableite bekomm ich
> [mm]\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm] + [mm]\bruch{50*sin(5x)}{cos^{4}(5x)}[/mm]
nein. Du musst nur Zähler und Nenner getrennt ableiten, und dann erneut versuchen, den Grenzwert auszuwerten. Für (tan(5x))' verwende einfach die Kettenregel.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 26.05.2012 | | Autor: | db60 |
> Hallo,
>
> > Wenn ich das nochmal ableite bekomm ich
> > [mm]\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm] + [mm]\bruch{50*sin(5x)}{cos^{4}(5x)}[/mm]
>
> nein. Du musst nur Zähler und Nenner getrennt ableiten,
> und dann erneut versuchen, den Grenzwert auszuwerten. Für
> (tan(5x))' verwende einfach die Kettenregel.
>
>
> Gruß, Diophant
Das soll ja auch die 2. Ableitung des Zählers sein ?
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Hallo,
> Das soll ja auch die 2. Ableitung des Zählers sein ?
Das kann ich nicht nachvollziehen.
Nach dem ersten Ableiten sieht das ja so aus:
[mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}\bruch{tan(5x)}{tan(x)}=\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}}\bruch{\bruch{5}{cos^2(5x)}}{\bruch{1}{cos^2(x)}} [/mm]
Und das solltest du jetzt ersteinmal vereinfachen. Danach hilft dir
[mm] \left(cos^2(x)\right)'=-2*cos(x)*sin(x)
[/mm]
ein Stück weiter. Wobei ich hier noch nicht ganz den Sinn sehe, diesen Grenzwert mit de l'Hospital zu berechnen. Denn ohne trigonometrische Identitäten wird es nicht klappen, ist meine Befürchtung.
Konkret würde dir
sin(2x)=2*sin(x)*cos(x)
hier weiterhelfen.
Gruß, Diophant
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> > mit de Moivre kannst Du evtl. Vereinfachungen treffen, und
> > dann damit eventuell einen Grenzwert besser erkennen
> > (ähnlich wie man bei [mm]\lim_{x \to 0}(x^2-1)/(x+1)=\lim_{x \to 0}(x-1)=-1[/mm]
> > mit der dritten binomischen Formel vorangekommen ist).
> >
> > Aber Du gibst der Aufgabe
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}[/mm]
> > doch selber die Überschrift "de l'Hospital"? Warum machst
> > Du das nicht damit?
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}= \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{(tan(5x))'}{(tan(x))'}[/mm]
> >
> > Nun kannst Du erstmal [mm]\tan'(x)=1/\cos^2(x)[/mm] und das auch
> > daraus mithilfe der Kettenregel folgende Ergebnis
> > [mm](\tan(5x))'=5/\cos^2(5x)[/mm]
> > benutzen.
>
> Wenn ich das nochmal ableite bekomme ich
> [mm]\bruch{1}{cos^{2}(x)}[/mm] + [mm]\bruch{50*sin(5x)}{cos^{4}(5x)}[/mm]
>
> Ist das so richtig ? Kann ich das noch weiter vereinfachen?
Wenn du statt (tan(x))'= [mm] 1/cos^2(x) [/mm] die Gleichung [mm] (tan(x))'=1+tan^2(x) [/mm] benutzt (und natürlich die Kettenregel), brauchst du keine wieteren Ableitungen, sondern bist mit einmal l'Hospital sofort fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 26.05.2012 | | Autor: | db60 |
> mit de Moivre kannst Du evtl. Vereinfachungen treffen, und
> dann damit eventuell einen Grenzwert besser erkennen
> (ähnlich wie man bei [mm]\lim_{x \to 0}(x^2-1)/(x+1)=\lim_{x \to 0}(x-1)=-1[/mm]
> mit der dritten binomischen Formel vorangekommen ist).
>
> Aber Du gibst der Aufgabe
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}[/mm]
> doch selber die Überschrift "de l'Hospital"? Warum machst
> Du das nicht damit?
> [mm]\limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{tan(5x)}{tan(x)}= \limes_{x\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{(tan(5x))'}{(tan(x))'}[/mm]
>
> Nun kannst Du erstmal [mm]\tan'(x)=1/\cos^2(x)[/mm] und das auch
> daraus mithilfe der Kettenregel folgende Ergebnis
> [mm](\tan(5x))'=5/\cos^2(5x)[/mm]
> benutzen.
>
> Danach nochmal de l'Hospital anwenden, kürzen soweit geht
> und günstig kann es auch sein, [mm]\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)[/mm] zu
> kennen:
> Denn um [mm]\lim_{x \to \pi/2}\sin(10x)/\sin(2x)[/mm] zu berechnen,
> kann man so vorgehen:
> Man nutzt [mm]\lim_{x \to 0}(\sin(x)/x)=1[/mm]
Ich verstehe nicht woher dieser Zusammenhang kommt. Kann man das vielleicht etwas näher erläutern? Für mich steht da einfach der [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ? Ist das einfach 1 ?
(wichtig ist, dass
> [mm]\sin(x) \to 0[/mm] und [mm]x \to 0[/mm] gehen, wenn nur [mm]x \to x_0[/mm] geht -
> exemplarisch habe ich den Standardfall [mm]x_0=0[/mm] dafür
> hingeschrieben, das geht aber auch für andere [mm]x_0[/mm]:
> welche?)
>
> Also gilt auch [mm]\lim_{x \to 0}(x/\sin(x))=1\,.[/mm] Und jetzt
> schreiben wir
>
> [mm]\sin(10x)/\sin(2x)=10*\frac{\sin(10x)}{10x}*\frac{2x}{\sin(2x)}*\frac{1}{2}=5*\frac{\sin(10x)}{10x}*\frac{2x}{\sin(2x)}[/mm]
> für [mm]x \not=0\,.[/mm]
>
> P.S.
> Gut, wenn Du richtig rechnest solltest Du irgendwann auf
> die Idee kommen, nicht [mm]\lim_{x \to \pi/2}\sin(10x)/\sin(2x)\,,[/mm]
> sondern [mm]\lim_{x \to \pi/2}\sin(2x)/\sin(10x)[/mm] zu berechnen.
> Aber zum einen: Das kann man entweder analog machen, oder
> man nutzt halt aus, dass, falls man die Existenz des einen
> Grenzwertes ([mm]\not=0[/mm]) hat, dass dann daraus auch die des
> anderen folgt und dass die Grenzwerte dann reziprok
> einander sind.
>
> P.P.S.
> Wenn Du alles korrekt rechnest, zur Kontrolle: Es sollte
> [mm]1/5\,[/mm] rauskommen!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Grundsätzlich ist $\bruch{0}{0}$ ein unbestimmter Ausdruck, den man selbsverständlich "nicht einfach so" zu 1 vereinfachen kann.
Den Grenzwert $\limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\sin(x)}{x}$ kannst Du z.B. auch mittels de l'Hospital ermitteln oder auch so.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
ich mach's jetzt einfach mal so, ich schreibe einen möglichen Lösungsweg "bruchstückhaft" auf, und Du fragst nach, was Dir nicht klar ist:
1.) [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\tan(5x)/\tan(x)$ [/mm] kann man nach de l'Hospital berechnen, wenn man [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\frac{\frac{5}{\cos^2(5x)}}{\frac{1}{\cos^2(x)}}=\lim_{x \to \pi/2}\frac{5\cos^2(x)}{\cos^2(5x)}$ [/mm] berechnen kann.
2.) Nun kann man [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\frac{5\cos^2(x)}{\cos^2(5x)}$ [/mm] berechnen, wenn man (wieder wegen de l'Hospital) [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\frac{5*2*(-\sin(x))\cos(x)}{5*2+(-\sin(5x))\cos^2(5x)}=\lim_{x \to \pi/2}\frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\sin(5x)\cos(5x)}$ [/mm] berechnen kann.
Das Additionstheorem [mm] $2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha)$ [/mm] hilft Dir dann nun weiter, wenn Du den Rest der anderen Antwort nochmal liest, weil Du dann "nur noch [mm] $\lim_{x \to \pi/2}\frac{\sin(2x)}{\sin(10x)}$ [/mm] berechnen musst"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Man nutzt [mm]\lim_{x \to 0}(\sin(x)/x)=1[/mm]
>
> Ich verstehe nicht woher dieser Zusammenhang kommt. Kann
> man das vielleicht etwas näher erläutern? Für mich steht
> da einfach der [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ? Ist das einfach 1 ?
nein, [mm] $0/0\,$ [/mm] ist nach wie vor ein unbestimmter Ausdruck. Aber de l'Hospital sagt
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}$$
[/mm]
kann man berechnen, wenn man
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{(\sin(x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\frac{\cos(x)}{1}=\lim_{x \to 0}\cos(x)$$
[/mm]
berechnen kann. Weil [mm] $\cos(0)=1\,$ [/mm] ist UND weil der Kosinus stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, ist aber [mm] $\lim_{x \to 0}\cos(x)=\cos(\lim_{x \to 0}x)=\cos(0)=1\,.$
[/mm]
Weil also [mm] $\lim_{x \to 0}\frac{(\sin(x))'}{(x)'}$ [/mm] existiert mit [mm] $\lim_{x \to 0}\frac{(\sin(x))'}{(x)'}=1\,,$ [/mm] sagt de l'Hospital, dass dann auch [mm] $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> > Man nutzt [mm]\lim_{x \to 0}(\sin(x)/x)=1[/mm]
>
> Ich verstehe nicht woher dieser Zusammenhang kommt. Kann
> man das vielleicht etwas näher erläutern? Für mich steht
> da einfach der [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ? Ist das einfach 1 ?
Nein, da steht ja auch ein Grenzwert und nicht [mm] $\frac{0}{0}$. [/mm] Mit der Reihendarstellung vom Sinus sieht man übrigens sofort, warum der obige Ausdruck gegen 1 strebt, aber ich gehe mal stark davon aus, dass ihr die in der Vorlesung noch nicht hattet, deswegen habe ich hieraus auch keine Antwort gemacht, wollte es aber mal erwähnt haben. Ansonsten wurde dir ja auch schon von weitaus kompetenterer Seite geholfen.
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