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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:47 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Dinna |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega = [0,l],~l>0 [/mm]
Aus Analysis ist es bekannt, dass die Menge
[mm] C^k(\bar{\Omega}):= \{\left u \right |_{\bar{\Omega}} : u\in C^k(R^n)\} [/mm] dicht in [mm] W^{k,p}(\Omega) [/mm],
also insbesondere
[mm] C(\bar{\Omega}) [/mm] ist dicht in [mm] L_2(\Omega) [/mm].
Kann daraus folgen, dass: [mm] \frac{1}{\sqrt{l}}\|u\|_{L_2}\leq \|u\|_{\infty}\leq \sqrt{l}\|u\|_{L_2} [/mm] ist? |
Hallo liebe Forumsmitglieder!
Ich habe die obige Abschätzung teilweise bewiesen, nämlich, dass:
[mm] \|u\|_{L_2} \leq \sqrt{l}\|u\|_\infty [/mm]:
[mm] \|u\|_{L_2}^2 = \int_0^l |u(x)|^2 dx \leq \max_{x\in[0,l]} |u(x)|^2~\int_0^l ~dx \leq \|u\|_{\infty}^2 ~l^2 [/mm]
Die andere Seite ist für mich nicht ganz so klar. Aus Höldersche Ungleichung folgt dass:
[mm] \|ug\|_{L_1} \leq \|u\|_{L_2}\|g\|_{L_2} [/mm]
Falls man [mm] g \equiv 1 [/mm] nimmt, dann:
[mm] \|u\|_{L_1}\leq \sqrt{l}\|u\|_{L_2} [/mm].
Also, es ist geblieben zu zeigen, dass:
[mm] \|u\|_{\infty} \leq \|u\|_{L_1} [/mm].
Hier bin ich stehen geblieben. Irgenwie ist es intuitiv klar, dass:
[mm] \max_{x\in[0,l]} |u(x)| \leq \int_0^l |u(x)|~dx [/mm],
aber wie wird das bewiesen? Muss ich da mit Lebesque Maß arbeiten, oder mache ich alles zu kompliziert? Ich habe auch nirgendwo benutzt, dass die glatte Funktionen sind in [mm] L_2 [/mm] dicht.
Ich werde mich sehr freuen, falls Sie mir irgendwie weiter helfen können! Ich studiere Biologie und solche Analysis Aufgabe sind neue für mich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank!
Dina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Fr 01.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega = [0,l],~l>0[/mm]
> Aus Analysis ist es bekannt, dass
> die Menge
> [mm]C^k(\bar{\Omega}):= \{\left u \right |_{\bar{\Omega}} : u\in C^k(R^n)\}[/mm]
> dicht in [mm]W^{k,p}(\Omega) [/mm],
> also insbesondere
> [mm]C(\bar{\Omega})[/mm] ist dicht in [mm]L_2(\Omega) [/mm].
> Kann daraus
> folgen, dass: [mm]\frac{1}{\sqrt{l}}\|u\|_{L_2}\leq \|u\|_{\infty}\leq \sqrt{l}\|u\|_{L_2}[/mm]
> ist?
Nein. Nehmen wir l=1 und [mm] f_n(x):=x^n
[/mm]
Dann gilt
[mm] $||f_n||_{L_2}= \bruch{1}{\wurzel{2n+1}} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Wenn obige Ungl. richtig wäre, so würde folgen:
[mm] $||f_n||_{\infty} \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Dann würde aber die Folge [mm] (f_n) [/mm] auf [0.1] gleichmäßig konvergieren, was aber nicht der Fall ist.
FRED
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> Hallo liebe Forumsmitglieder!
>
> Ich habe die obige Abschätzung teilweise bewiesen,
> nämlich, dass:
> [mm]\|u\|_{L_2} \leq \sqrt{l}\|u\|_\infty [/mm]:
>
> [mm]\|u\|_{L_2}^2 = \int_0^l |u(x)|^2 dx \leq \max_{x\in[0,l]} |u(x)|^2~\int_0^l ~dx \leq \|u\|_{\infty}^2 ~l^2[/mm]
>
> Die andere Seite ist für mich nicht ganz so klar. Aus
> Höldersche Ungleichung folgt dass:
> [mm]\|ug\|_{L_1} \leq \|u\|_{L_2}\|g\|_{L_2}[/mm]
> Falls man [mm]g \equiv 1[/mm]
> nimmt, dann:
> [mm]\|u\|_{L_1}\leq \sqrt{l}\|u\|_{L_2} [/mm].
> Also, es ist
> geblieben zu zeigen, dass:
> [mm]\|u\|_{\infty} \leq \|u\|_{L_1} [/mm].
>
> Hier bin ich stehen geblieben. Irgenwie ist es intuitiv
> klar, dass:
> [mm]\max_{x\in[0,l]} |u(x)| \leq \int_0^l |u(x)|~dx [/mm],
> aber wie
> wird das bewiesen? Muss ich da mit Lebesque Maß arbeiten,
> oder mache ich alles zu kompliziert? Ich habe auch
> nirgendwo benutzt, dass die glatte Funktionen sind in [mm]L_2[/mm]
> dicht.
> Ich werde mich sehr freuen, falls Sie mir irgendwie weiter
> helfen können! Ich studiere Biologie und solche Analysis
> Aufgabe sind neue für mich.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Vielen Dank!
>
> Dina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Fr 01.07.2011 | | Autor: | Dinna |
Lieber Fred!
Vielen Dank! Ich habe das Gefühl gehabt, dass diese Normäquivalenz nicht stimmt.
Dina
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