L unendlich < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bezeichne [mm] \lambda [/mm] das Lebesgue-Mass, sei f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] in [mm] L_{\infty}(\IR, B(\lambda)) [/mm] und gelte $|| f [mm] ||_{\infty}=1$
[/mm]
1) Gilt $|f(x)| [mm] \le [/mm] 1$ $ [mm] \lambda$-fast [/mm] überall [mm] \forall [/mm] x ?`
2) Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 ist
[mm] \{ x \in \IR : |f(x)|\ge 1-\epsilon \} \in [/mm] B und hat positives Lebesguemass.
[mm] B=B(\IR)=Borel-\sigma-Algebra [/mm] |
1) Ja weil $esssup |f| = [mm] inf_{N\in B : \lambda(N)=0}sup_{x\in \IR/N}|f(x)|=1$ [/mm] ja gerade das Supremum über alle [mm] Nicht-\lambda-Nullmengen [/mm] ist und dieses überall grösser gleich $|f(x)| [mm] \forall [/mm] x$ ???
2) Müsste diese Menge dann nicht unendlich viele Punkte beinhalten? Positives Lebesgue-Mass = ungleich 0, ja? Denn negativ kann das Lebesgue-Mass ja nicht werden...?
Wie zeigt man, dass diese Menge unendlich viele Punkte hat und in der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] drin ist? Was meint ihr zu meiner 1)?
Grüsse
|
|
| |
|
Hiho,
> über alle [mm]Nicht-\lambda-Nullmengen[/mm]
Nein. Über alle Mengen, die sich nur um Maximal einer Nullmenge von [mm] \IR [/mm] unterscheiden. Das ist nicht das, was du geschrieben hast.
Allerdings wäre deine Definition äquivalent, mach dir das mal klar.
> 2) Müsste diese Menge dann nicht unendlich viele Punkte
> beinhalten? Positives Lebesgue-Mass = ungleich 0, ja? Denn
> negativ kann das Lebesgue-Mass ja nicht werden...?
Korrekt.
> Wie zeigt man, dass diese Menge unendlich viele Punkte hat
> und in der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] drin ist?
Das allein macht noch kein Maß größer Null!
[mm] \IQ [/mm] hat auch unendlich viele Punkte und Maß 0.
Für die 2. mach mal ein Widerspruchsbeweis.
> Was meint ihr zu meiner 1)?
Auch hier: Widerspruchsbeweis.
Das was du hingeschrieben hast, klingt zwar gut, um sich eine Vorstellung zu machen, ist allerdings kein Beweis.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
