LaPlace Grenzwert < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:16 Do 29.09.2011 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | | [mm] E(s)=-\bruch{\bruch{1}{1+2s}}{1+\bruch{1}{s(1+s)(1+2s)}}\bruch{1}{s}=-\bruch{s(1+s)}{1+s(1+s)(1+2s)}\bruch{1}{s} [/mm] |
hallo, ich möchte gerne von der gleichung im bild/LaPlace bereich den grenzwert bestimmen. jedoch bekomme ich für beide teile unterschiedliche werte heraus. das sieht dann so aus:
[mm] \limes_{s\rightarrow 0} [/mm] sE(s) = [mm] -\bruch{\bruch{1}{1+2s}}{1+\bruch{1}{s(1+s)(1+2s)}}\bruch{s}{s} [/mm] = [mm] -\bruch{\bruch{1}{1+0}}{1+\bruch{1}{0(1)(1)}}\bruch{s}{s} [/mm] = [mm] -\bruch{\bruch{1}{1}}{1+\bruch{1}{0}} \bruch{s}{s}= [/mm] 1
mein dozent hat das ganze umgestellt und eigentlich erst dann berechnet:
[mm] \limes_{s\rightarrow 0} [/mm] sE(s) = [mm] -\bruch{s(1+s)}{1+s(1+s)(1+2s)}\bruch{s}{s} [/mm] = [mm] -\bruch{0(1+0)}{1+0(1)(1)}\bruch{s}{s} [/mm] = [mm] -\bruch{0(1+0)}{1+0(1)(1)}\bruch{s}{s} [/mm] = 0
0 soll richtig sein. jedoch verstehe ich absolut nicht warum er das umgestellt hat und weshalb da unterschiedliche grenzwerte herauskommen. das wird doch nicht doch was mit Bernoulli und de l'Hopital zutun haben? 0/0 und [mm] \infty/\infty [/mm] habe ich nämlich garnicht.
EDIT: hatte die sprungantwort [mm] \bruch{1}{s} [/mm] vergessen
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> [mm]E(s)=-\bruch{\bruch{1}{1+2s}}{1+\bruch{1}{s(1+s)(1+2s)}}\bruch{1}{s}=-\bruch{s(1+s)}{1+s(1+s)(1+2s)}\bruch{1}{s}[/mm]
>
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> hallo, ich möchte gerne von der gleichung im bild/LaPlace
> bereich den grenzwert bestimmen. jedoch bekomme ich für
> beide teile unterschiedliche werte heraus. das sieht dann
> so aus:
hallo,
oben das 1/s mag ja noch stimmen, aber wenn du s*E(s) berechnest, kürzt sich das ja weg..
>
> [mm]\limes_{s\rightarrow 0}[/mm] sE(s) =
> [mm]-\bruch{\bruch{1}{1+2s}}{1+\bruch{1}{s(1+s)(1+2s)}}\bruch{1}{s}[/mm]
> = [mm]-\bruch{\bruch{1}{1+0}}{1+\bruch{1}{0(1)(1)}}\bruch{1}{s}[/mm]
hier hast du 1/0 im nenner was [mm] \pm\infty [/mm] ergibt, und [mm] a/\infty [/mm] = , also dasselbe ergebnis wie dein prof
> = [mm]-\bruch{\bruch{1}{1}}{1+\bruch{1}{0}} \bruch{1}{s}=[/mm] 1
>
> mein dozent hat das ganze umgestellt und eigentlich erst
> dann berechnet:
> [mm]\limes_{s\rightarrow 0}[/mm] sE(s) =
> [mm]-\bruch{s(1+s)}{1+s(1+s)(1+2s)}\bruch{1}{s}[/mm] =
> [mm]-\bruch{0(1+0)}{1+0(1)(1)}\bruch{1}{s}[/mm] =
> [mm]-\bruch{0(1+0)}{1+0(1)(1)}\bruch{1}{s}[/mm] = 0
>
> 0 soll richtig sein. jedoch verstehe ich absolut nicht
> warum er das umgestellt hat und weshalb da unterschiedliche
> grenzwerte herauskommen. das wird doch nicht doch was mit
> Bernoulli und de l'Hopital zutun haben? 0/0 und
> [mm]\infty/\infty[/mm] habe ich nämlich garnicht.
>
> EDIT: hatte die sprungantwort [mm]\bruch{1}{s}[/mm] vergessen
>
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Do 29.09.2011 | | Autor: | Hing |
vielen dank für deine antwort. ich habe die ganze zeit
[mm] \limes_{s\rightarrow 0} \bruch{1}{s} [/mm] = 0 gerechnet...
ich weiss- dumm..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 29.09.2011 | | Autor: | Hing |
ich habe jetzt doch noch eine frage. wieso wurde die gleichung umgestellt? das ist doch nicht nötig gewesen und ausserdem macht das ausmultiplizieren auch nur mehr arbeit.
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Hallo nochmal,
> ich habe jetzt doch noch eine frage. wieso wurde die
> gleichung umgestellt? das ist doch nicht nötig gewesen und
> ausserdem macht das ausmultiplizieren auch nur mehr arbeit.
Wenn Du so einen Wust von Doppelbrüchen hast, wird der einfach unübersichtlich. Das beste ist daher meistens, das alles erst einmal in einen normalen Bruch umzuwandeln, dann macht man weniger Fehler bei der Grenzwertbetrachtung.
Übrigens ist auch die Lösung Deines Profs mathematisch nicht gerade "sauber".
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Do 29.09.2011 | | Autor: | Hing |
| Aufgabe | [mm] E(s)=\bruch{1}{1+G_{0}} [/mm] W(s)
[mm] G_{0}=0,5(\bruch{1}{4s}+1)(\bruch{1}{2s+1})
[/mm]
[mm] W(s)=\bruch{1}{s^{2}}
[/mm]
[mm] \limes_{s\rightarrow 0} [/mm] s E(s) |
ok, ich habe wieder das gleiche problem. nur diesmal weiss ich trotz meines ähh..dummen fehlers nicht, wieso beide gleichungen unterschiedliche grenzwerte haben. das sieht dann für mich so aus.
[mm] \limes_{s\rightarrow 0} [/mm] s E(s) = [mm] \bruch{1}{1+0,5(\bruch{1}{4s}+1)(\bruch{1}{2s+1})} \bruch{1}{s^{2}}s [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+0,5 (\infty+1)(\infty)} \bruch{1}{0} [/mm] = 0
ist aber falsch. eigentlich sollte da 8 herauskommen; nachdem man alles ausmultipliziert hat. ich habe hier noch eine regel gefunden die besagt, dass bei einem bruch im nenner der grenzwert nicht null betragen darf.
ist das vielleicht mein fehler?
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Hallo Hing,
Du rechnest da mit Größen, mit denen man nicht rechnen kann, insbesondere mit dem Unendlichen. Da gibt es nur weniges, was definiert ist, z.B. [mm] \infty+\infty=\infty, [/mm] auch [mm] \infty*\infty=\infty [/mm] und noch ein paar andere.
Das, was Du da treibst, ist jedenfalls nicht möglich. Genau darum ist ja die Grenzwertbetrachtung nötig, und die solltest Du in der Einführungsvorlesung (oder im Vorkurs) am Beispiel von Folgen und Reihen ausgiebig behandelt haben.
Insbesondere kann [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] jede beliebige positive Zahl ergeben, und bei [mm] \infty-\infty [/mm] kann man überhaupt nicht mehr sagen, was da herauskommt. Bei einer Grenzwertbetrachtung ist auch [mm] \infty*0 [/mm] nicht aussagekräftig, da ist es besser, einen der beiden Terme in einen Doppelbruch umzuwandeln, damit man ein Ergebnis der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] bekommt und l'Hospital anwenden kann.
Zu Deiner Aufgabe:
> [mm]E(s)=\bruch{1}{1+G_{0}}[/mm] W(s)
> [mm]G_{0}=0,5(\bruch{1}{4s}+1)(\bruch{1}{2s+1})[/mm]
> [mm]W(s)=\bruch{1}{s^{2}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{s\rightarrow 0}[/mm] s E(s)
> ok, ich habe wieder das gleiche problem. nur diesmal weiss
> ich trotz meines ähh..dummen fehlers nicht, wieso beide
> gleichungen unterschiedliche grenzwerte haben. das sieht
> dann für mich so aus.
>
> [mm]\limes_{s\rightarrow 0}[/mm] s E(s) =
> [mm]\bruch{1}{1+0,5(\bruch{1}{4s}+1)(\bruch{1}{2s+1})} \bruch{1}{s^{2}}s[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1+0,5 (\infty+1)(\infty)} \bruch{1}{0}[/mm] = 0
>
> ist aber falsch.
Hier haben wir genau das Problem, das im Nenner letztlich so etwas steht wie [mm] \infty*0, [/mm] und das ist eben nicht definiert, wenn die Null nicht genau Null, sondern nur für etwas beliebig nahe an Null steht, wie hier. Um ein paar Umformungen, will heißen: Bruchrechnung, wirst Du nicht herumkommen.
[mm] \lim_{s\to 0}s*E(s)=\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}\left(\bruch{1}{4s}+1\right)\left(\bruch{1}{2s+1}\right)}*\bruch{1}{s^2}=\lim_{s\to 0}\bruch{1}{\bruch{8s(2s+1)+(1+4s)}{8s(2s+1)}}*\bruch{1}{s^2}=\lim_{s\to 0}\bruch{8(2s+1)}{8s^2(2s+1)+s+4s^2}=\lim_{s\to 0}\bruch{8(2s+1)}{16s^3+12s^2+s}
[/mm]
> eigentlich sollte da 8 herauskommen;
Tut es aber nicht. Der Grenzwert ist [mm] \infty.
[/mm]
Stimmt vielleicht etwas an Deinen Funktionen nicht?
> nachdem man alles ausmultipliziert hat. ich habe hier noch
> eine regel gefunden die besagt, dass bei einem bruch im
> nenner der grenzwert nicht null betragen darf.
> ist das vielleicht mein fehler?
Was soll das denn für eine Regel sein?
Das ist doch keine Tauschbörse für Kochrezepte hier.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Fr 30.09.2011 | | Autor: | Hing |
vielen dank für deine antwort.
tatsächlich habe ich die lösung am ende mit 0 * [mm] \infty [/mm] nicht gesehen, sozusagen ein flüchtigkeitsfehler. das erklärt natürlich weshalb es umgestellt werden musste.
der dozent hat es auch genauso wie du umgestellt um dann den grenzwert bestimmt (die lösung habe ich vorliegen). ich habe lediglich nicht verstanden weshalb es umgestellt wurde, auch wenn mir klar war, dass die ausgangsgleichung keinen vernünftigen grenzwert ergibt.
jedoch ist der grenzwert nachwievor 8. du hast im zähler ein s vergessen mit dem ein s aus dem nenner gekürzt werden kann.
was für eine regel ich mir da rausgesucht habe? Papula Formelsammlung, 9.Aufl., S.73, Regel (4):
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)}{\limes_{x\rightarrow x_{0}} g(x)} [/mm] (Voraussetzung: [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] g(x) [mm] \not= [/mm] 0)
unser mathelehrer (matheverrückter) hat immer gesagt, dass Mathematik wie kochen sei. man muss immer nur rezepte anwenden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Fr 30.09.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> vielen dank für deine antwort.
>
> tatsächlich habe ich die lösung am ende mit 0 * [mm]\infty[/mm]
> nicht gesehen, sozusagen ein flüchtigkeitsfehler. das
> erklärt natürlich weshalb es umgestellt werden musste.
>
> der dozent hat es auch genauso wie du umgestellt um dann
> den grenzwert bestimmt (die lösung habe ich vorliegen).
> ich habe lediglich nicht verstanden weshalb es umgestellt
> wurde, auch wenn mir klar war, dass die ausgangsgleichung
> keinen vernünftigen grenzwert ergibt.
>
> jedoch ist der grenzwert nachwievor 8. du hast im zähler
> ein s vergessen mit dem ein s aus dem nenner gekürzt
> werden kann.
Das ist nicht richtig. Da ist kein s vergessen, ich habe wegen des Schreibaufwands nur nicht jeden Schritt einzeln aufgeschrieben.
Gib mal die ursprüngliche Formel unter Excel oder einer anderen Kalkulation ein oder schreib Dir ein Programm, das die Werte auswirft.
für s=1 ergibt sich ca. 0,8276
für s=0,1 ca. 40,68
für s=0,01 ca. 727,5
für s=0,001 ca. 7920,8
für s=0,0001 ca. 79920
Die Werte nähern sich also der Funktion [mm] f(s)=\bruch{8}{s}.
[/mm]
Das ist genau das, was nach der Umformung deutlich wird.
Für [mm] s\to0 [/mm] gehen die Werte also gegen [mm] \infty.
[/mm]
Deswegen die Frage nach den Funktionen. Wenn die so stimmen, hat Dein Prof. einen Fehler.
> was für eine regel ich mir da rausgesucht habe? Papula
> Formelsammlung, 9.Aufl., S.73, Regel (4):
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] =
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow x_{0}} f(x)}{\limes_{x\rightarrow x_{0}} g(x)}[/mm]
> (Voraussetzung: [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] g(x) [mm]\not=[/mm] 0)
Das liest sich aber schon ganz anders als die Aussage, dass der Grenzwert des Nenners nicht Null sein darf. Das gilt hier ja nur, wenn man diesen Grenzwertsatz anwenden will. Übrigens dürfen auch nicht beide Grenzwerte [mm] \infty [/mm] sein, aber das wird Papula sicher auch irgendwo anmerken.
> unser mathelehrer (matheverrückter) hat immer gesagt, dass
> Mathematik wie kochen sei. man muss immer nur rezepte
> anwenden.
Dann wäre Mathe so langweilig wie Kochen in der Imbissbude.
Es gibt aber viel faszinierendere Dinge in der Mathematik, so auch manche Grenzwerte. 
Grüße
reverend
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