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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Sa 31.07.2004 | | Autor: | jsonline |
Hallo!
Das Forum hier ist ja wirklich superspitze. Gut, daß ich das gefunden hab.
Ich habe ein Problem mit dem LaPlaceschen Entwicklungssatz.
Mir ist das Prinzip an sich eigentlich bewußt, wie er funktioniert.
Die Determinante folgender Matrix ist zu bestimmen:
[mm] \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & 1 & -1 & -8 & 0\end{vmatrix} [/mm]
Jetzt bin ich wie folgt vorgegangen:
Ich habe die zweite Spalte (die mit den meisten Nullen) sowie die dritte Zeile (habe ja in diesem Fall nur die Wahl zwischen der dritten und der fünften) gestrichen.
Übrig bleibt dann:
1 x [mm] \begin{vmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & -1 & -8 & 0\end{vmatrix} [/mm]
Dann habe ich die erste Spalte gestrichen (wieder die mit den meisten Nullen) und die dritte Zeile gestrichen (wieder willkürlich gewählt).
Übrig bleibt: 1 x (-8) x [mm] \begin{vmatrix} 1 & 8 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -8 & 0\end{vmatrix} [/mm]
= -8 x [0-8+8-0-(-8)-0] = -8 x 8 = -64
Als Lösungshinweis steht unter der Aufgabe -48.
Wo habe ich den Fehler gemacht?
Ich bedanke mich sehr für jegliche Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Sa 31.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo jsonline!
> Die Determinante folgender Matrix ist zu bestimmen:
>
> [mm]A=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & 1 & -1 & -8 & 0\end{vmatrix}[/mm]
>
>
> Jetzt bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> Ich habe die zweite Spalte (die mit den meisten Nullen)
> sowie die dritte Zeile (habe ja in diesem Fall nur die Wahl
> zwischen der dritten und der fünften) gestrichen.
Leider kann man Zeilen und Spalten nicht einfach streichen. Ich versuche den Entwicklungs-Ablauf noch einmal zu erklären:
Als erstes schreibe ich mir als Hilfestellung immer folgende Matrix daneben:
[mm]\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & 1 & -1 & -8 & 0\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & +\end{pmatrix}[/mm]
Wenn du jetzt nach z.B. der zweiten Spalte entwickelst, musst du die entsprechenden Vorzeichen (wie in der Hilfsmatrix) berücksichtigen und es ergibt sich:
in Worten:
Determinante der Matrix =
- 0 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und erste Zeile
+ 0 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und zweite Zeile
- 1 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und dritte Zeile
+ 0 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und vierte Zeile
- 1 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und fünfte Zeile
=
- 1 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und dritte Zeile
- 1 * Determinante der Matrix ohne zweite Spalte und fünfte Zeile
als Formel:
[mm] \det A = -0*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & -1 & -8 & 0\end{pmatrix}}+0*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & -1 & -8 & 0\end{pmatrix}}-1*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & -1 & -8 & 0\end{pmatrix}}[/mm]
[mm]+0*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -8 & 0\end{pmatrix}}-1*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \end{pmatrix}}[/mm]
[mm]= -1*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \\ -1 & -1 & -8 & 0\end{pmatrix}}-1*det{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 8 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 8 & 0 & -12 & -8 \end{pmatrix}}[/mm]
Das gleiche setzt du dann fort für die 4x4 Matrizen, die sich ergeben haben. Versuche doch einfach mal, ob du jetzt auf das richtige Ergebnis kommst!
Viele Grüße
Astrid
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