La Grange Methode < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 26.08.2008 | | Autor: | McF |
| Aufgabe | Es ist notwendig ein Kran Ausleger mit minimaler Masse (Volumen) zu bestimmen. Dabei sind die verschiedenen Längen und Durchmesser des unten abgebildeten Kran Auslegers zu berechnen. Gegeben sind Gesamtlänge L, Kraft F, Spannung [mm] \sigma. [/mm] Gesucht wird d1, d2, d3, x1 und x2. Lösen sie das Problem mit Hilfe der LaGrange Methode.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo Leute muss die oben beschriebene Aufgabe lösen. L, F und [mm] \sigma [/mm] sind gegeben, allerdings nicht die Zahlenwerte, nur als Variablen. Ich habe als erstes die erste spannungs Gleichung umgestellt dann bekomme ich [mm] d_1 [/mm] raus:
[mm]d_1=\left( \bruch{32*F*L}{\pi*\sigma} \right)[/mm]
dann habe ich die Funktion für das Volumen des Auslegers bestimmt:
[mm]V= \bruch{ \pi}{4} \right)*d_1^2*(L-x_2)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_2^2*(x_2-x_1)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_3^2*x_1[/mm]
Danach die LaGange Gleichung:
[mm]LG= \bruch{ \pi}{4} \right)*d_1^2*(L-x_2)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_2^2*(x_2-x_1)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_3^2*x_1+ \lambda \left( \sigma-\bruch{32*F*x_2}{ \pi*d_2^3} \right)+ \lambda \left( \sigma-\bruch{32*F*x_1}{ \pi*d_3^3} \right)[/mm]
Stimmt diese Funktion?
Nächster Schritt waren die einzelnen Ableitungen:
[mm] \bruch{ \delta LG}{ \delta x_2}=-\bruch{ \pi}{4}*d_1^2+\bruch{ \pi}{4}*d_2^2- \lambda* \left(\bruch{32*F}{ { \pi*d_2^3} \right)[/mm]
[mm] \bruch{ \delta LG}{ \delta x_1}=-\bruch{ \pi}{4}*d_2^2+\bruch{ \pi}{4}*d_3^2- \lambda* \left(\bruch{32*F}{ { \pi*d_3^3} \right)[/mm]
[mm] \bruch{ \delta LG}{ \delta d_2}= \bruch{ \pi}{2}*d_2*x_2+\bruch{ \pi}{2}*d_2*x_1- \lambda* \left(\bruch{96*F*x_2}{ { \pi*d_2^4} \right)[/mm]
[mm] \bruch{ \delta LG}{ \delta d_3}= \bruch{ \pi}{2}*d_3*x_1- \lambda* \left(\bruch{96*F*x_1}{ { \pi*d_3^4} \right)[/mm]
[mm] \bruch{ \delta LG}{ \delta \lambda}= \sigma- \left( \bruch{32*F*x_2}{ { \pi*d_2^3} \right)+ \sigma- \left(\bruch{32*F*x_1}{ \pi*d_3^3} \right)[/mm]
Sind diese korrekt?
Und jetzt mein eigentliches Problem, ich kann die Gleichungen nicht auflösen. Ich habs schon so lange probiert und komm einfach nicht auf ein grünen Zweig. Ich habe kein Taschenrechner der das kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
gruß McF
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Kran, Ausleger, Spannung, erschrecken mich etwas und ich blicke nicht richtig durch hier, aber ich will doch ein paar Dinge sagen, die mir auffallen:
> dann habe
> ich die Funktion für das Volumen des Auslegers bestimmt:
> [mm]V= \bruch{ \pi}{4} \right)*d_1^2*(L-x_2)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_2^2*(x_2-x_1)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_3^2*x_1[/mm]
Das sieht richtig aus.
> [mm]d_1=\left( \bruch{32*F*L}{\pi*\sigma} \right)[/mm]
Das stimmt doch nicht: wenn ich es recht sehe, müßte hier noch die dritte Wurzel gezogen werden, und außerdem ein [mm] \ge [/mm] - Zeichen gesetzt werden.
Geben Dir diese 3 [mm] \sigma [/mm] - Ungleichungen nicht die Nebenbedingungen?
Wenn ja: warum hast Du dann in der Lagrangefunktion nur zwei Nebenbedingungen?
Und: wenn das drei Nebenbedingungen sind, solltest Du aber in der Lagrangefunktion drei Lagrangemultiplikatoren [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] haben.
Gruß v. Angela
> Danach die LaGange Gleichung:
>
> [mm]LG= \bruch{ \pi}{4} \right)*d_1^2*(L-x_2)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_2^2*(x_2-x_1)+ \bruch{ \pi}{4} \right)*d_3^2*x_1+ \lambda \left( \sigma-\bruch{32*F*x_2}{ \pi*d_2^3} \right)+ \lambda \left( \sigma-\bruch{32*F*x_1}{ \pi*d_3^3} \right)[/mm]
>
> Stimmt diese Funktion?
>
> Nächster Schritt waren die einzelnen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{ \delta LG}{ \delta x_2}=-\bruch{ \pi}{4}*d_1^2+\bruch{ \pi}{4}*d_2^2- \lambda* \left(\bruch{32*F}{ { \pi*d_2^3} \right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{ \delta LG}{ \delta x_1}=-\bruch{ \pi}{4}*d_2^2+\bruch{ \pi}{4}*d_3^2- \lambda* \left(\bruch{32*F}{ { \pi*d_3^3} \right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{ \delta LG}{ \delta d_2}= \bruch{ \pi}{2}*d_2*x_2+\bruch{ \pi}{2}*d_2*x_1- \lambda* \left(\bruch{96*F*x_2}{ { \pi*d_2^4} \right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{ \delta LG}{ \delta d_3}= \bruch{ \pi}{2}*d_3*x_1- \lambda* \left(\bruch{96*F*x_1}{ { \pi*d_3^4} \right)[/mm]
>
> [mm]\bruch{ \delta LG}{ \delta \lambda}= \sigma- \left( \bruch{32*F*x_2}{ { \pi*d_2^3} \right)+ \sigma- \left(\bruch{32*F*x_1}{ \pi*d_3^3} \right)[/mm]
>
> Sind diese korrekt?
> Und jetzt mein eigentliches Problem, ich kann die
> Gleichungen nicht auflösen. Ich habs schon so lange
> probiert und komm einfach nicht auf ein grünen Zweig. Ich
> habe kein Taschenrechner der das kann.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> gruß McF
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 26.08.2008 | | Autor: | McF |
Hallo Angela,
hast recht bei der ersten Gleichung hab ich vergessen die 3. Wurzel zu ziehen. Aber mit den Nebenbedingungen das kapier ich nicht ganz. Durch die erste Nebenbedingung ist [mm] d_1 [/mm] ja sozusagen schon gegeben. Wenn ich die 2 Gleichungen mit [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] in die LaGrange Funktion einfüge dann habe ich ja 6 Unbekannte und nur 5 Gleichungen und somit ist das System nicht mehr eindeutig lösbar oder?
gruß McF
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> Es ist notwendig ein Kran Ausleger mit minimaler Masse
> (Volumen) zu bestimmen. Dabei sind die verschiedenen Längen
> und Durchmesser des unten abgebildeten Kran Auslegers zu
> berechnen. Gegeben sind Gesamtlänge L, Kraft F, Spannung
> [mm]\sigma.[/mm] Gesucht wird d1, d2, d3, x1 und x2. Lösen sie das
> Problem mit Hilfe der LaGrange Methode.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Funktion für das Volumen des Auslegers bestimmt:
> V= [mm] \bruch{ \pi}{4} *d_1^2*(L-x_2)+ \bruch{ \pi}{4}*d_2^2*(x_2-x_1)+ \bruch{ \pi}{4}*d_3^2*x_1
[/mm]
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> Hallo Angela,
> hast recht bei der ersten Gleichung hab ich vergessen die
> 3. Wurzel zu ziehen. Aber mit den Nebenbedingungen das
> kapier ich nicht ganz. Durch die erste Nebenbedingung ist
> [mm]d_1[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ja sozusagen schon gegeben.
Hallo,
nein. Du kennst zwar \sigma, aber Du weißt doch bloß, daß
\bruch{32FL}{\pi d_1^3}\le \sigma <==> \bruch{32FL}{\pi \sigma}\le d_1^3
Wenn ich Dir verrate, daß ich heute morgen beim Bäcker weniger als 15 Brötchen geholt habe, weißt Du ja auch noch nicht, wieviele ich in meiner Tüte hatte...
Allgemein zu den Nebenbedingungen: Nebenbedingungen, sind solche Bedingungen, die einen bei der Optimierung der Funktion einschränken.
Ein Optimierungsproblem habe ich jeden Morgen. Beim Bäcker. Ich möchte da möglichst wenig Geld ausgeben. Das könnte so einfach sein: ich bräuchte bloß konsequent nichts zu kaufen...
Aber dann kommen die Randbedingungen:
Jeder möchte beim Frühstück etwas auf dem Teller haben.
Für die Pausenbrote der Kinder benötige ich zusätzlich genau vier Brötchen.
Mein Mann ist fröhlicher, wenn er ein Rosinenbrötchen auf dem Teller hat.
Der Tag ist verdorben, wenn ich nicht bei einer Tasse Kaffee die Zeitung lesen kann.
Tja, und aufgrund dieser Nebenbedingungen ist mein optimaler Einkauf dann so, daß er regelmäßig deutlich mehr als 0 kostet.
Zu Deiner Volumenminimierung: gäbe es keine Nebenbedingungen, so hättest Du Deine Funkion V mit d_1=d_2=d_3=0 bereits optimiert. Kleines Manko: Der Ausleger wäre nicht mehr vorhanden...
Man hat aber nicht die Möglichkeit d_1=0 zu wählen, das verhindert die Nebenbedingung von oben. Diese d_1 muß aus technischen Gründen eine gewisse Mindestgröße haben.
Ebenso liefern die anderen beiden Bedingungen mit "...\le\sigma" Einschränkungen, denen die frei Wahl der Variablen unterliegt.
Du hast also drei Nebenbedingungen der Gestalt "\sigma - Term \ge 0"
Mit der Lagrangefunktion untersuchst Du nun den Fall, daß genau die Nebenbedingungen gelten, also "Nebenbedingungen mit =".
Ah - und jetzt verstehe ich, was Du meinst: ja, hier ist dann d_1 eindeutig durch die Konstanten F, L und \sigma bestimmt, also als konstant zu betrachten.
So hast Du eine Variable und eine Nebenbedingung weniger - und so hattest Du das zuvor auch gemacht.
Die Lagrangefunktion hat nun insgesamt 6 Variable, die gesuchten d_2, d_3, x_1, x_2, und zusätzlich zwei Lagrangefaktoren \lambda_1, \lambda_2 für die NB.
Von dieser Funktion sind die 6 partiellen Ableitungen zu bilden, was Dir 6 Gleichungen liefert.
Also hast Du ein System mit 6 Gleichungen und 6 Unbekannten zu bearbeiten.
$ LG(d_2, d_3, x_1, x_2, \lambda_1, \lambda_2)= \bruch{ \pi}{4} \right)\cdot{}{d_1^2\cdot{}(L-x_2)+ \bruch{ \pi}{4} \right)\cdot{}d_2^2\cdot{}(x_2-x_1)+ \bruch{ \pi}{4} \right)\cdot{}d_3^2\cdot{}x_1+ \lambda_{\red{1}} \left( \sigma-\bruch{32\cdot{}F\cdot{}x_2}{ \pi\cdot{}d_2^3} \right)+ \lambda_{\red{2}} \left( \sigma-\bruch{32\cdot{}F\cdot{}x_1}{ \pi\cdot{}d_3^3} \right) $
Wenn Du das getan und gelöst hast, hast Du die Randextrema.
(Ich weiß nicht, ob das von den technischen Gegebenheiten her in Betracht kommt: mathematisch gesehen mußte man anschließend noch nach Extremwerten fanden, die nicht auf dem Rand, aber im erlaubten Gebiet liegen (Extremwertberechnung ohne Lagrange.))
Gruß v. Angela
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