Länge einer Kurve etc. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei f: ]0,1[ -> [mm] \IR [/mm] , f(t) = [mm] t*sin(\bruch{\pi}{2t})
[/mm]
U = { z [mm] \in \IC [/mm] | 0 < Re(z) < 1, -2 < Im(z) < f(Re z) }
a)Skizzieren Sie U
b)Zeigen Sie, dass U beschränkt und offen ist
c)Zeigen Sie dU unendliche Länge hat, indem Sie den Grenzwert der Länge des Graphen von [mm] f|[\bruch{1}{n},1[ [/mm] für n -> [mm] \infty [/mm] nach unten abschätzen.
Tipp: Abschätzung nach unten mit harmonischer Reihe. |
Zu a) Angenommen: y-Achse = Im(z), x-Achse = Re(z)
Dann müsste die Menge durch die Kurven x=0, y=-2, x=1 und y= [mm] x*sin(\bruch{\pi}{2x}) [/mm] begrenzt sein.
b) U beschränkt, da M = [mm] B_3 [/mm] (z) = {z [mm] \in \IC [/mm] | |z| < 3} beschränkt ist und U [mm] \subset [/mm] M
c) Wie kann man denn die Länge eines Graphen bestimmen ? Gibt es da Formeln und Abschätzungen, die hier wichtig wären ?
Würde mich über eure Hilfe freuen, danke.
Gruß
Fry
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Hallo Fry,
die Länge von parametrisierten Kurven kannst du berechnen? dann musst du einfach den graphen als kurve im [mm] $\IR^2$ [/mm] (oder auch [mm] $\IC$) [/mm] beschreiben.
VG
Matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:25 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich hab keine Ahnung,wie man die Längen von Kurven bestimmt. Wäre nett, wenn ihr mir da helfen könntet ?
Kann mir jemand noch meine Ergebnisse aus a) und b) bestätigen ?
Wie kann man hier die Offenheit der Menge U zeigen ?
MfG :)
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 11.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich hab keine Ahnung,wie man die Längen von Kurven bestimmt. Wäre nett, wenn ihr mir da helfen könntet ?
Kann mir jemand noch meine Ergebnisse aus a) und b) bestätigen ?
Wie kann man hier die Offenheit der Menge U zeigen ?
MfG :)
Fry
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Hallo fry,
ich werde dir jetzt nicht ausführlich aufschreiben, wie man kurvenlängen berechnet, schaue dazu zB. mal unter wikipedia (-> kurvenintegral) nach.
Aus einem funktionsgraphen kannst du nun recht leicht eine parametrisierte kurve machen: aus $ [mm] f(t)=t\cdot{}sin(\bruch{\pi}{2t}) [/mm] $ wird so [mm] $\gamma_n(t)=(t,t\cdot{}sin(\bruch{\pi}{2t}))$ [/mm] für [mm] $t\in [\frac [/mm] 1n;1[$.
die bogenlänge berechnet sich nun zu
[mm] $\int_{\gamma_n}ds=\int_{[\frac 1n;1[}\|\gamma_n'(t)\|dt$.
[/mm]
Dh. du musst nun [mm] $\gamma_n'$ [/mm] berechnen und davon die euklidische norm. das entstehende integral schätze dann nach unten ab.
VG
Matthias
PS: a) und b) sehen gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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