Länge eines Moduls < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Beweisen Sie, dass [mm] \IZ [/mm] als [mm] \IZ-Modul [/mm] die Länge [mm] \infty [/mm] hat.
(ii) Beweisen oder wiederlegen Sie, dass es eine unendliche Kette 0 [mm] \subset M_{1} \subset M_{2} \subset [/mm] ... von Untermoduln von [mm] \IZ [/mm] über [mm] \IZ [/mm] gibt. |
Hallo.
Ich habe ein Problem mit der obrigen Aufgabe und zwar sitze ich noch am ersten Teil fest.
Bei i muss ja gezeigt werden, das [mm] l(\IZ)= \infty
[/mm]
[mm] "\ge" [/mm] für diese Richtung müsste ich ja die Existenz einer Kette der Länge [mm] \infty [/mm] zeigen oder?
Zeige ich das am besten mit Hilfe eines maximales Idelas oder gibt es eine bessere Möglichkeit?
aber was ist denn für [mm] \le [/mm] zu zeigen?
ich wäre über Hinweise sehr dankbar.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 19.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Bei i muss ja gezeigt werden, das [mm]l(\IZ)= \infty[/mm]
>
> [mm]"\ge"[/mm] für diese Richtung müsste ich ja die Existenz einer
> Kette der Länge [mm]\infty[/mm] zeigen oder?
Nein, nur beliebig lange Ketten - es muss nicht eine unendlich lange exitsieren! (Das ist der Kern der Aufgabe). Überleg dir mal [m]\IZ*p^n\subset \IZ*p^{n-1}[/m].
> Zeige ich das am besten mit Hilfe eines maximales Idelas
> oder gibt es eine bessere Möglichkeit?
Siehe oben.
> aber was ist denn für [mm]\le[/mm] zu zeigen?
Gar nichts mehr? Es gibt nur endliche Ketten in [m]\IZ[/m], wie man in der b) sehen wird.
SEcki
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> > Bei i muss ja gezeigt werden, das [mm]l(\IZ)= \infty[/mm]
> >
> > [mm]"\ge"[/mm] für diese Richtung müsste ich ja die Existenz einer
> > Kette der Länge [mm]\infty[/mm] zeigen oder?
>
> Nein, nur beliebig lange Ketten - es muss nicht eine
> unendlich lange exitsieren! (Das ist der Kern der Aufgabe).
> Überleg dir mal [m]\IZ*p^n\subset \IZ*p^{n-1}[/m].
>
Okay da lag ein denkfehler von mir. Meinst du mit p Primelemente?..so haben wir sie nämlich definiert. [mm] \IZ [/mm] ist ja ein Hauptidealring in dem sich jedes Element als Produkt von Primelementen schreiben lässt
zu deinem Beispiel..da könnt man ja z.B 9 [mm] \IZ [/mm] und 3 [mm] \IZ [/mm] nehmen da gilt diese Inklusion ja
Meine Aufgabe ist es jetzt nur zu zeigen, dass es eine solche Kette gibt...Kann man das denn über die Primfaktorzerlegung machen, indem ich sage, das jedes Element eine solche darstellung besitz?
Sei also a [mm] \in \IZ. [/mm] Dann gibt es eine Darstellung a= [mm] \epsilon \produkt_{p \in P} p^{\mü_{p}(a)} [/mm] ....aber wie kann ich denn jetzt zeigen, dass das eine Kette bildet?...ist der Ansatz denn soweit richtig?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 19.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Okay da lag ein denkfehler von mir. Meinst du mit p
> Primelemente?
Ja, aber eigentlich ist es egal.
>..so haben wir sie nämlich definiert.
???
> zu deinem Beispiel..da könnt man ja z.B 9 [mm]\IZ[/mm] und 3 [mm]\IZ[/mm]
> nehmen da gilt diese Inklusion ja
Und wie könnte man das weiter machen?
> Meine Aufgabe ist es jetzt nur zu zeigen, dass es eine
> solche Kette gibt...
Eine Kette beliebiger Länge.
> Kann man das denn über die
> Primfaktorzerlegung machen, indem ich sage, das jedes
> Element eine solche darstellung besitz?
Häh? Keine Ahnung, was du machen willst.
SEcki
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> > zu deinem Beispiel..da könnt man ja z.B 9 [mm]\IZ[/mm] und 3 [mm]\IZ[/mm]
> > nehmen da gilt diese Inklusion ja
>
> Und wie könnte man das weiter machen?
>
naja könnte z.B. 27 [mm] \IZ \subset [/mm] 18 [mm] \IZ \subset [/mm] 9 [mm] \IZ \subset [/mm] 3 [mm] \IZ \subset [/mm] 1 [mm] \IZ
[/mm]
> > Meine Aufgabe ist es jetzt nur zu zeigen, dass es eine
> > solche Kette gibt...
>
> Eine Kette beliebiger Länge.
>
> > Kann man das denn über die
> > Primfaktorzerlegung machen, indem ich sage, das jedes
> > Element eine solche darstellung besitz?
>
> Häh? Keine Ahnung, was du machen willst.
>
ich glaub mein Problem ist das ich selber nicht genau weiß wie ich das zeigen soll...ich weiß zwar was ich zeigen will aber an der Umsetzung scheiterts... jeweiter ich in der Kette nach links komme dest größer werden die zahlen und desto weiter ich nach rechts geh desto kleiner werden sie?..aber wie zeig ich das es so eine Kette gibt?..Nutze ich dazu die Ideale des Hauptidelaringes oder kann man das mit hilfe einer Basis machen?...ich tippe echt im dunkeln...
LG Schmetterfee
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Hallo,
ich komme mal dazu, da ich an der selben Aufgabe sitze..
Ich haben momentan folgende Idee:
es gibt eine Kette
[mm] 2^{n}\IZ \subset 2^{n-1}\IZ \subset 2^{n-2}\IZ \subset [/mm] ... [mm] \subset 2^{1}\IZ \subset 2^{0} [/mm] (=1--> [mm] \IZ) \IZ [/mm] mit n [mm] \in \IN.
[/mm]
Da die "koeffizienten von links nach rechts kleiner werden, werden die mengen immer größer, im bezug auf die anzahl ihrer elemente..
Und da [mm] \IN [/mm] unendlich ist (müsste eine definition sein, soweit ich mich erinnere, muss da noch mal schauen..) ist auch die länge der Kette [mm] (\IZ-Modul) [/mm] unendlich.
meine erste idee war, das üer die primzahlen zu versuchen--> unendliche anzahl an primzahlen (def-->euklid)--> und da sich jedes element z aus [mm] \IZ [/mm] als linar kombi von primzahlen darstellen lässt, wäre dann auch Z unendlich, aber es reicht ja genaugenommen auch eine primzahl, wdie man unendlich oft verwendet und das wäre dann der obere gedanke...
Soweit meine ideen zu (i)
Kann mir da jemand helfen??
nun zu (ii)
ich bin mir nicht ganz sicher, was ich da nun zeigen soll, dass es eine kette gibt ist doch klar ,oder (zumindest nach meinen oben beschriebenen gedanken)???
Muss ich zeigen, dass die einzelnen "elemente" der kette untermoduln sind??
Kann mir jemand helfen??
Ich würde mich sehr über einen tipp oder eine idee freuen.
Vielen lieben dank schonmal
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:59 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> es gibt eine Kette
> [mm]2^{n}\IZ \subset 2^{n-1}\IZ \subset 2^{n-2}\IZ \subset[/mm] ...
> [mm]\subset 2^{1}\IZ \subset 2^{0}[/mm] (=1--> [mm]\IZ) \IZ[/mm] mit n [mm]\in \IN.[/mm]
Besser: für jedes n gibt es so eine echte Kette.
> Da die "koeffizienten von links nach rechts kleiner werden,
> werden die mengen immer größer, im bezug auf die anzahl
> ihrer elemente..
Unsinn! Aber die Inklusionen sind echt.
> Und da [mm]\IN[/mm] unendlich ist (müsste eine definition sein,
> soweit ich mich erinnere, muss da noch mal schauen..) ist
> auch die länge der Kette [mm](\IZ-Modul)[/mm] unendlich.
Häh? Was solln das für ein Argumetn sein?
> meine erste idee war, das üer die primzahlen zu
> versuchen--> unendliche anzahl an primzahlen
> (def-->euklid)--> und da sich jedes element z aus [mm]\IZ[/mm] als
> linar kombi von primzahlen darstellen lässt, wäre dann
> auch Z unendlich, aber es reicht ja genaugenommen auch eine
> primzahl, wdie man unendlich oft verwendet und das wäre
> dann der obere gedanke...
???
> nun zu (ii)
> ich bin mir nicht ganz sicher, was ich da nun zeigen soll,
> dass es eine kette gibt ist doch klar ,oder (zumindest nach
> meinen oben beschriebenen gedanken)???
Nein. Das sind alles endliche Ketten. Die Frage ist: gibt es eine unendliche Kette? Also wo die Kette selber unendlich ist?
> Muss ich zeigen, dass die einzelnen "elemente" der kette
> untermoduln sind??
???
SEcki
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Hi,
danke für deine Antwort.
> > es gibt eine Kette
> > [mm]2^{n}\IZ \subset 2^{n-1}\IZ \subset 2^{n-2}\IZ \subset[/mm] ...
> > [mm]\subset 2^{1}\IZ \subset 2^{0}[/mm] (=1--> [mm]\IZ) \IZ[/mm] mit n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Besser: für jedes n gibt es so eine echte Kette.
also geht der gedanke mit der kette in die richtige richtung??
> > Da die "koeffizienten von links nach rechts kleiner werden,
> > werden die mengen immer größer, im bezug auf die anzahl
> > ihrer elemente..
>
> Unsinn! Aber die Inklusionen sind echt.
ok, war vielleicht unverständlich beschrieben was ich meine aber wenn ich z.B. eine Kette habe:
18Z [mm] \subset [/mm] 9Z [mm] \subset [/mm] 3Z
und dann einen bereich z.b. 0 bis 19 betrachte
ist
18Z = {0,18}
9Z = {0,9,18}
3Z = {0,3,6,9,12,15,18}
(zumindest in diesem intervall)
also wied das vor dem Z kleiner und die anzahl der elemente der mengen größer... ich hoffe, dass es jetzt verständlich ist, wie ich das meine...
> > Und da [mm]\IN[/mm] unendlich ist (müsste eine definition sein,
> > soweit ich mich erinnere, muss da noch mal schauen..) ist
> > auch die länge der Kette [mm](\IZ-Modul)[/mm] unendlich.
>
> Häh? Was solln das für ein Argumetn sein?
wieso?? wenn ich [mm] \subset 2^{n}\IZ \subset 2^{n-1} \IZ [/mm] ... [mm] \subset 2^{1}\IZ \subset \IZ
[/mm]
habe dann ist ja n aus [mm] \IN [/mm] und [mm] \IN [/mm] ist doch unendlich... das habe ich zuminsdest so gelernt, ist doch eine definition... und wenn [mm] \IN [/mm] undendlich ist, und die kette aber so lang wie n ist, dann ist doch auch die kette in ihrer länge unendlich..
z.B. n=3
[mm] \subset 2^{3}\IZ \subset 2^{2} \IZ \subset 2^{1}\IZ \subset \IZ
[/mm]
oh, ok, das [mm] 2^{0}\IZ [/mm] kommt ja noch dazu, also ist die kette n+1 lang
n=5:
[mm] \subset 2^{5}\IZ \subset 2^{4} \IZ \subset 2^{3}\IZ \subset 2^{2} \IZ \subset 2^{1} \IZ \subset \IZ
[/mm]
also ist die kette "6" lang...
also wächst mit wachsendem n auch die kette in ihrer länge und weil n [mm] (\IN) [/mm] per definition unendlich ist, ist auch die KEtte unendlich lang..
ich hoffe, dass es jetzt verständlich ist, wie ich das meine.. was stimmt denn an meinem gedankengang und was nicht??
LG
pythagora
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> also geht der gedanke mit der kette in die richtige
> richtung??
Nicht, dass cih das schon geschrieben hätte ...
> ich hoffe, dass es jetzt
> verständlich ist, wie ich das meine...
Okay, deine Aussage war aber dennoch falsch. Und was du wirklich zeigen willst, ah bich ja auch schon geschrieben. Gant allgemein: Welches Element liegt in [m]p^{n-1}*\IZ[/m], welches nicht in [m]p^{n}*\IZ[/m] liegt?
> also ist die kette "6" lang...
Du hast 2 Ketten, nicht eine.
> also wächst mit wachsendem n auch die kette in ihrer
> länge
Für jedes n erhälst du eine Kette der Länge n. Damit ist das Supremum der Längen nicht endlich.
> und weil n [mm](\IN)[/mm] per definition unendlich ist, ist
> auch die KEtte unendlich lang..
... Da ist vielleicht was wahres dran, aber so wie du das schreibst, find ich das zum Gruseln.
> ich hoffe, dass es jetzt verständlich ist, wie ich das
> meine.. was stimmt denn an meinem gedankengang und was
> nicht??
Du machst etwas konfuse Sachen und drückst dich auch komisch aus (so verstehe ich das dann auch oft nicht). Versuche einmal zu überlegen, was ich genau geschrieben habe und das mit deinen Gedanken zu vergleichen. Eine unendliche Kette gibt es im Übrigen nicht.
SEcki
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Hi,
danke für die antwort.
> > also geht der gedanke mit der kette in die richtige
> > richtung??
>
> Nicht, dass cih das schon geschrieben hätte ...
sorry, hab ich erst im nachhinein gelesen..
> > ich hoffe, dass es jetzt
> > verständlich ist, wie ich das meine...
>
> Okay, deine Aussage war aber dennoch falsch. Und was du
> wirklich zeigen willst, ah bich ja auch schon geschrieben.
> Gant allgemein: Welches Element liegt in [m]p^{n-1}*\IZ[/m],
> welches nicht in [m]p^{n}*\IZ[/m] liegt?
ich hab mal versucht mit das am beispiel klar zu machen:
p=2
n=2
also :
2Z: 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20...
4Z :0, 4 , 8, 12, , 16 ...
da 2Z ja elemente der form 2*z mit z [mm] \in [/mm] Z hat scheinen alle elemente, die aus ungeraden z erszeugt wurden, war in 2Z aber nicht in 4Z zu sein...
(klappt auch mit aneren beispielen...)
????
insgesamt liegt 2Z also nicht in 4Z, aber wie beweise ich das???
> > also ist die kette "6" lang...
>
> Du hast 2 Ketten, nicht eine.
>
> > also wächst mit wachsendem n auch die kette in ihrer
> > länge
>
> Für jedes n erhälst du eine Kette der Länge n. Damit ist
> das Supremum der Längen nicht endlich.
ja, genau so meinte ich das, weil ja auch [mm] \IN [/mm] unendlich ist...
> > und weil n [mm](\IN)[/mm] per definition unendlich ist, ist
> > auch die KEtte unendlich lang..
>
> ... Da ist vielleicht was wahres dran, aber so wie du das
> schreibst, find ich das zum Gruseln.
>
> > ich hoffe, dass es jetzt verständlich ist, wie ich das
> > meine.. was stimmt denn an meinem gedankengang und was
> > nicht??
>
> Du machst etwas konfuse Sachen und drückst dich auch
> komisch aus (so verstehe ich das dann auch oft nicht).
> Versuche einmal zu überlegen, was ich genau geschrieben
> habe und das mit deinen Gedanken zu vergleichen.
Ok, hab versucht deine gedanken mit meinen zusammenzubringen...:
ich soll zeigen, dass [mm] p^{n}\cdot{}\IZ [/mm] in [mm] p^{n-1}\cdot{}\IZ [/mm] liegt (induktion) und dass es daher eine KEtte (wieso sind das jetzt eine oder mehrere???, weil ich für n irgendwas einsetzen kann und dadurch unterschiedliche ketten erhalte?? oder weil aus [mm] p^{n}\cdot{}\IZ [/mm] eine "kette entsteht"??? bin verwirrt.-...)
gibt, die unendlich ist, weil [mm] \IN [/mm] unednlich ist...
so???
> Eine
> unendliche Kette gibt es im Übrigen nicht.
also gibt es denn eine "Kette mit unendlicher länge" (aber eine kette ist ja immer endlich) oder wie sage ich das (besser)??
Vielen Dank für deine Mühe
pythagora
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Hi,
ich bin leider immer noch nicht wirklich weiter gekommen, denke ich. Ich weiß dass [mm] p^{n-1}\IZ [/mm] nicht in [mm] p^{n}\IZ [/mm] liegt und dass somit [mm] p^{n}\IZ \subset p^{n-1}\IZ, [/mm] und daher gibt es eine solche Kette:
0 [mm] \subset 2^{n}\IZ \subset 2^{n-1}\IZ \subset 2^{n-2}\IZ \subset [/mm] ... [mm] \subset \IZ [/mm] gibt. Und es hat [mm] \IZ [/mm] als [mm] \IZ-Modul [/mm] die länge [mm] \infty [/mm] , weil n [mm] \in \IN [/mm] unendlich ist??? (hier bin ich mir nicht sicher.. wie "begründe ich jetzt dass es unendlich ist??
Mag mir jemand helfen??
Vielen Dank.
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Fr 21.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> weil n [mm]\in \IN[/mm] unendlich ist???
Lass diesen Unsinn endlich sein! Omfg! :-( :-(
Du hast eine Kette für jedes n - somit ist die Länge des Moduls unendlich (da sie nicht endlich ist). Fertig. Wenn du es noch genauer willst, solltest du eure ganz genaue Def. von Länge posten.
SEcki
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Hi,
ich wollte, nur wissen, warum das nicht so geht.. gefühlsmäßig war mir schon irgendwie klar, dass das so nicht geht ;)
> Du hast eine Kette für jedes n - somit ist die Länge des
> Moduls unendlich (da sie nicht endlich ist). Fertig. Wenn
> du es noch genauer willst, solltest du eure ganz genaue
> Def. von Länge posten.
ok, die def., die ich habe ist folgende:
die Länge eines Moduls M ist das Supremum [mm] l_R(M) [/mm] in [mm] \IN \cup [/mm] { [mm] \infty [/mm] } aller l [mm] \in \IN, [/mm] zu denen es eine Kette
0 [mm] \subset M_1 \subset M_2 \subset [/mm] ... [mm] \subset M_l=M
[/mm]
von Untermoduln M gibt.
((( [mm] \subset [/mm] ist hier "echte teilemge")))
oki?? Magst mir da nochmal helfen??
Ich danke dir^^
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 21.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> die Länge eines Moduls M ist das Supremum [mm]l_R(M)[/mm] in [mm]\IN \cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} aller l [mm]\in \IN,[/mm] zu denen es eine Kette
> 0 [mm]\subset M_1 \subset M_2 \subset[/mm] ... [mm]\subset M_l=M[/mm]
> von
> Untermoduln M gibt.
> ((( [mm]\subset[/mm] ist hier "echte teilemge")))
>
> oki?? Magst mir da nochmal helfen??
Du hast jetzt Ketten der Länge n für jedes [m]n\in\IN[/m]. Was ist dann das Supremum über all diese n?
SEcki
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Hi,
das Supremum wäre das Größte n.. aber das größte n aus [mm] \IN... [/mm] (gibt'S nicht??--> weil [mm] \IN [/mm] unendlich??). Wenn ich ein n wähle gibt es ja immer eins das größer ist, d.h. es gibt ein n+1..... also sind die einzelnen ketten sind ja endlich, aber das "Supremum" bzw. die KEtte der endlichen Ketten (oh mannnn, ich hoffe, das ist wenigstens halb-verständlich) wäre unendlich. Also kann ich unedlich viele endliche Ketten machen..
Nochmal so allgemein:
(i) ich kann also unendlich viele endliche ketten machen, weil ich für jedes n eine kette (formel von gestern--> sorry, kann die gerade nicht schreiben...) erstellen kann. Wie kann man sagen, dass es für alle n gilt, wenn ich nicht sagen darf, dass [mm] \IN [/mm] nicht unendlich ist???
(ii) es folgt ja aus der definition, dass ein element aus der kette das größte ist, daher gibt es dann ein supremum und die kette ist endlich, somit wäre die aussage wiederlegt. Oder??
LG und vielen Dank
pythagora
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> das Supremum wäre das Größte n.. aber das größte n
> aus [mm]\IN...[/mm] (gibt'S nicht??--> weil [mm]\IN[/mm] unendlich??).
Es gibt keine größtes Element in [m]\IN[/m]. Allerdings gibt es ein größtes Element in [m]\IN\vup \{\infty\}[/m].
> Wenn
> ich ein n wähle gibt es ja immer eins das größer ist,
> d.h. es gibt ein n+1..... also sind die einzelnen ketten
> sind ja endlich, aber das "Supremum" bzw. die KEtte der
> endlichen Ketten (oh mannnn, ich hoffe, das ist wenigstens
> halb-verständlich) wäre unendlich. Also kann ich
> unedlich viele endliche Ketten machen..
unendlch viele Ketten mit bel. großer Länge.
> (i) ich kann also unendlich viele endliche ketten machen,
> weil ich für jedes n eine kette (formel von gestern-->
> sorry, kann die gerade nicht schreiben...) erstellen kann.
Ja.
> Wie kann man sagen, dass es für alle n gilt, wenn ich
> nicht sagen darf, dass [mm]\IN[/mm] nicht unendlich ist???
Alles konfus. Das zweite darfst du sagen (ist aber nicht, was du bisher geschrieben hast). Wir haben ja bewiesen, dass es für alle n eine Kette gibt - damit kann das Supremum nicht in [m]\IN[/m] liegen, sondern muss [m]\infty[/m] sein.
> (ii) es folgt ja aus der definition, dass ein element aus
> der kette das größte ist, daher gibt es dann ein supremum
> und die kette ist endlich, somit wäre die aussage
> wiederlegt.
???
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> da 2Z ja elemente der form 2*z mit z [mm]\in[/mm] Z hat scheinen
> alle elemente, die aus ungeraden z erszeugt wurden, war in
> 2Z aber nicht in 4Z zu sein...
Äh, was?
> insgesamt liegt 2Z also nicht in 4Z, aber wie beweise ich
> das???
Weil 2 nicht in 4Z liegt?
> ich soll zeigen, dass [mm]p^{n}\cdot{}\IZ[/mm] in [mm]p^{n-1}\cdot{}\IZ[/mm]
> liegt (induktion) und dass es daher eine KEtte (wieso sind
> das jetzt eine oder mehrere???, weil ich für n irgendwas
> einsetzen kann und dadurch unterschiedliche ketten
> erhalte??
Ja.
> oder weil aus [mm]p^{n}\cdot{}\IZ[/mm] eine "kette
> entsteht"??? bin verwirrt.-...)
> also gibt es denn eine "Kette mit unendlicher länge"
Nein. Ich meinte die b) ist falsch.
> (aber eine kette ist ja immer endlich) oder wie sage ich
> das (besser)??
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Und wie könnte man das weiter machen?
> >
> naja könnte z.B. 27 [mm]\IZ \subset[/mm] 18 [mm]\IZ \subset[/mm] 9 [mm]\IZ \subset[/mm]
> 3 [mm]\IZ \subset[/mm] 1 [mm]\IZ[/mm]
Das stimmt einfach mal net in der ersten Inklusion.
> ich glaub mein Problem ist das ich selber nicht genau weiß
> wie ich das zeigen soll
Dafür habe ich dir ja Tips gegeben. Weißt du was ein Untermodul ist? Das es hier mit den Idealen zusammenfällt?
> ...ich weiß zwar was ich zeigen
> will aber an der Umsetzung scheiterts... jeweiter ich in
> der Kette nach links komme dest größer werden die zahlen
> und desto weiter ich nach rechts geh desto kleiner werden
> sie?
Und? Du musst Ketten von Moduln betrachten.
> ..aber wie zeig ich das es so eine Kette gibt?
Du schreibst sie einfach hin?!
> ..Nutze
> ich dazu die Ideale des Hauptidelaringes oder kann man das
> mit hilfe einer Basis machen?...ich tippe echt im
> dunkeln...
??? Alle Ideale/Untermodule haben die Form [m]k*\IZ[/m].
SEcki
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Also ich habe mir weiter gedanken zu der Aufgabe gemacht.
Ich soll je zeigen, dass [mm] l(\IZ) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Dazu muss ich zeigen, dass es für jedes n [mm] \in \IN [/mm] eine Kette der Form [mm] p^{n} \IZ \subset p^{n-1} \IZ \subset [/mm] ... [mm] \subset p^{n-n} \IZ [/mm] gibt
Nun liegt, das Element [mm] p^{n-1} [/mm] nicht in [mm] p^{n} [/mm] somit ist [mm] p^{n} \subset p^{n-1}
[/mm]
aber was muss da denn jetzt noch weiter gezeigt werden?
kann ich jetzt einfach davon ausgehen, dass die erzeugnisse von [mm] [/mm] nicht in [mm] [/mm] liegen?...aber das kommt ja auch nicht hin weil [mm] p^{n-1}*p^{n-1}=p^{n} [/mm] ist...aber wie kann ich denn jetzt weiter vorgehen?
> Dafür habe ich dir ja Tips gegeben. Weißt du was ein
> Untermodul ist? Das es hier mit den Idealen
> zusammenfällt?
>
Naja laut Bosch und unserem Prof sind Ideale immer auch Untermodule was man sich leicht an der ziemlich ähnlichen Definition auch klar machen kann...
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich soll je zeigen, dass [mm]l(\IZ)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Dazu muss ich zeigen, dass es für jedes n [mm]\in \IN[/mm] eine
> Kette der Form [mm]p^{n} \IZ \subset p^{n-1} \IZ \subset[/mm] ...
> [mm]\subset p^{n-n} \IZ[/mm] gibt
> Nun liegt, das Element [mm]p^{n-1}[/mm] nicht in [mm]p^{n}[/mm] somit ist
> [mm]p^{n} \subset p^{n-1}[/mm]
Sehr schön!
> aber was muss da denn jetzt noch
> weiter gezeigt werden?
Nichts weiter. Du hast die Inklusionen, die Inklusionen sind echt. Es fäng tan bei 0 endet in [m]\IZ[/m].
> kann ich jetzt einfach davon ausgehen, dass die
> erzeugnisse von [mm][/mm] nicht in [mm][/mm] liegen?
Wieso willst du das noch zeigen?
>...aber
> das kommt ja auch nicht hin weil [mm]p^{n-1}*p^{n-1}=p^{n}[/mm]
Falsch.
> ist...aber wie kann ich denn jetzt weiter vorgehen?
Du bist doch fertig?!
> > Dafür habe ich dir ja Tips gegeben. Weißt du was ein
> > Untermodul ist? Das es hier mit den Idealen
> > zusammenfällt?
> >
> Naja laut Bosch und unserem Prof sind Ideale immer auch
> Untermodule was man sich leicht an der ziemlich ähnlichen
> Definition auch klar machen kann...
Es geht darum, dass du es verstehst. Daher die Nachfrage! Nicht böse gemeint, sondern wollte wissen, ob ich da ausholen soll.
SEcki
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> > Ich soll je zeigen, dass [mm]l(\IZ)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> > Dazu muss ich zeigen, dass es für jedes n [mm]\in \IN[/mm] eine
> > Kette der Form [mm]p^{n} \IZ \subset p^{n-1} \IZ \subset[/mm] ...
> > [mm]\subset p^{n-n} \IZ[/mm] gibt
> > Nun liegt, das Element [mm]p^{n-1}[/mm] nicht in [mm]p^{n}[/mm] somit
> ist
> > [mm]p^{n} \subset p^{n-1}[/mm]
>
> Sehr schön!
>
> > aber was muss da denn jetzt noch
> > weiter gezeigt werden?
>
> Nichts weiter. Du hast die Inklusionen, die Inklusionen
> sind echt. Es fäng tan bei 0 endet in [m]\IZ[/m].
>
> > kann ich jetzt einfach davon ausgehen, dass die
> > erzeugnisse von [mm][/mm] nicht in [mm][/mm] liegen?
>
> Wieso willst du das noch zeigen?
>
kann ich dann einfach schreiben das [mm] p^{n-1} [/mm] nicht in [mm] p^{n} [/mm] liegt?..deswegen dachte ich muss ich das nochzeigen...
> >...aber
> > das kommt ja auch nicht hin weil [mm]p^{n-1}*p^{n-1}=p^{n}[/mm]
>
> Falsch.
>
ich hab das am Beispiel probiert von p=3 und n=2... dann ist 9=3*3 und das meinte ich mit der Gleichung
> > > Dafür habe ich dir ja Tips gegeben. Weißt du was ein
> > > Untermodul ist? Das es hier mit den Idealen
> > > zusammenfällt?
> > >
> > Naja laut Bosch und unserem Prof sind Ideale immer auch
> > Untermodule was man sich leicht an der ziemlich ähnlichen
> > Definition auch klar machen kann...
>
> Es geht darum, dass du es verstehst. Daher die Nachfrage!
> Nicht böse gemeint, sondern wollte wissen, ob ich da
> ausholen soll.
>
Nein habe ich auch nicht so aufgefasst...danke nochmals für den Hinweis...
Bei Aufgabe (ii) soll ja nun sagen ob es eine unendliche Kette gibt...
Mir ist es bewusst das es diese unendliche Kette an Untermoduuln nicht geben kann. Aber meine begründung ist etwas schwammig...Die Untermodule entsprechen ja unseren idealen und in Hauptidealringen gibt es doch ein maximales ideal oder sehe ich das falsch?
ich habe noch nen anderen ansatz und zwar haben wir ein Korollar gehabt, welches besagt, dass sich jedes a [mm] \in \IZ [/mm] als ein Produkt von endlich vielen Primelementen darstellen lässt...daraus kann man doch folgen das es ein maximales ideal/ element gibt und daher kann die Kette nicht unendlich sein oder?...
ist der ideeansatz richtig oder geht er völlig in die falsche Richtung?..aber worüber könnte man es sonst machen?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 20.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> kann ich dann einfach schreiben das [mm]p^{n-1}[/mm] nicht in [mm]p^{n}[/mm]
> liegt?..deswegen dachte ich muss ich das nochzeigen...
Es gilt [m]p^{n-1}\notin \IZ*p^{n}[/m].
> > >...aber
> > > das kommt ja auch nicht hin weil [mm]p^{n-1}*p^{n-1}=p^{n}[/mm]
> >
> > Falsch.
> >
> ich hab das am Beispiel probiert von p=3 und n=2... dann
> ist 9=3*3 und das meinte ich mit der Gleichung
...
...
...
Alle Zahlen sind prim: Für 2 stimmts. Also ist n prim.
Setz mal 2 oben ein, dann wird dir wohl was klar 
> Mir ist es bewusst das es diese unendliche Kette an
> Untermoduuln nicht geben kann.
Wieso? Weil ich's vorgeplappert habe?
> Aber meine begründung ist
> etwas schwammig...Die Untermodule entsprechen ja unseren
> idealen und in Hauptidealringen gibt es doch ein maximales
> ideal oder sehe ich das falsch?
Ja, aber was hat das mit der Bedingung zu tun? Das kann alles richtig sein, ich seh's nur nicht.
> ich habe noch nen anderen ansatz und zwar haben wir ein
> Korollar gehabt, welches besagt, dass sich jedes a [mm]\in \IZ[/mm]
> als ein Produkt von endlich vielen Primelementen darstellen
> lässt...daraus kann man doch folgen das es ein maximales
> ideal/ element gibt und daher kann die Kette nicht
> unendlich sein oder?...
Kannst du das ausführen?
> ist der ideeansatz richtig oder geht er völlig in die
> falsche Richtung?..aber worüber könnte man es sonst
> machen?
Kann sein. Zeige mal, was du alles genau meinst.
SEcki
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> > Mir ist es bewusst das es diese unendliche Kette an
> > Untermoduuln nicht geben kann.
>
> Wieso? Weil ich's vorgeplappert habe?
nee eher wegen meiner begründung mit dem maximalen Hauptideal...
>
> > Aber meine begründung ist
> > etwas schwammig...Die Untermodule entsprechen ja unseren
> > idealen und in Hauptidealringen gibt es doch ein maximales
> > ideal oder sehe ich das falsch?
>
> Ja, aber was hat das mit der Bedingung zu tun? Das kann
> alles richtig sein, ich seh's nur nicht.
>
Angenommen a lässt sich nicht als Produkt von irreduziblen elementen schreiben. dann ist a reduzibel ist, dann besitzt es eine darstellung von [mm] a_{1}*a_{1}^{'} [/mm] zweier nichteinheiten. da wir angenommen ahebn das a sich nicht als Produkt von irreduziblen zahlen darstellen lässt muss demzufolge einer der beiden faktoren wieder darstellbar sein als [mm] a_{2}*a_{2}^{'}. [/mm] Dies könnte man immer weiter tun und würde erhalten [mm] a=a_{0},a_{1}.a_{2},... \in \IZ
[/mm]
Man würde also eine Folge von idealen [mm] (a)=(a_{0}) \subset (a_{1}) [/mm] ... geben.nun würde die vereinigung wieder ein ideal sein unser maximales
..
> > ich habe noch nen anderen ansatz und zwar haben wir ein
> > Korollar gehabt, welches besagt, dass sich jedes a [mm]\in \IZ[/mm]
> > als ein Produkt von endlich vielen Primelementen darstellen
> > lässt...daraus kann man doch folgen das es ein maximales
> > ideal/ element gibt und daher kann die Kette nicht
> > unendlich sein oder?...
>
> Kannst du das ausführen?
ich habe grad bei meinem versuch oben festgestellt das ich es net kann...deprimierend aber wahr..
>
> > ist der ideeansatz richtig oder geht er völlig in die
> > falsche Richtung?..aber worüber könnte man es sonst
> > machen?
>
> Kann sein. Zeige mal, was du alles genau meinst.
>
worüber würdest du das denn zeigen auch über Primfaktorzerlegung?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 21.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen a lässt sich nicht als Produkt von irreduziblen
> elementen schreiben. dann ist a reduzibel ist, dann besitzt
> es eine darstellung von [mm]a_{1}*a_{1}^{'}[/mm] zweier
> nichteinheiten. da wir angenommen ahebn das a sich nicht
> als Produkt von irreduziblen zahlen darstellen lässt muss
> demzufolge einer der beiden faktoren wieder darstellbar
> sein als [mm]a_{2}*a_{2}^{'}.[/mm] Dies könnte man immer weiter tun
> und würde erhalten [mm]a=a_{0},a_{1}.a_{2},... \in \IZ[/mm]
> Man
> würde also eine Folge von idealen [mm](a)=(a_{0}) \subset (a_{1})[/mm]
> ... geben.nun würde die vereinigung wieder ein ideal sein
> unser maximales
Und? Ich sehe nicht, wie du zu einem Widerspruch kommst - man erhält dann ein maximales Ideal, gut, aber warum kann per se keine Kette sein a la [m]K_1\subset K_2 ... \subset M \subset \IZ[/m], wobei M maximal ist und die Kette vorher unendlich groß?
> worüber würdest du das denn zeigen auch über
> Primfaktorzerlegung?
Das verstehe ich nciht - wir reden doch von Moduln? Ich würde es über den Betrag des Erezugers des Moduls/Ideal machen - und echte Inklusion erzwingt kleiner werden dieser Zahl.
SEcki
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> Und? Ich sehe nicht, wie du zu einem Widerspruch kommst -
> man erhält dann ein maximales Ideal, gut, aber warum kann
> per se keine Kette sein a la [m]K_1\subset K_2 ... \subset M \subset \IZ[/m],
> wobei M maximal ist und die Kette vorher unendlich groß?
>
Ich weiß das habe ich auch gemerkt war absoluter Schwachsinn. Sorry
> > worüber würdest du das denn zeigen auch über
> > Primfaktorzerlegung?
>
> Das verstehe ich nciht - wir reden doch von Moduln? Ich
> würde es über den Betrag des Erezugers des Moduls/Ideal
> machen - und echte Inklusion erzwingt kleiner werden dieser
> Zahl.
>
Angenommen es gäbe eine Unendliche Kette von Untermoduln, dann hätte diese die Form 0 [mm] \subset p^{n} \IZ \subset p^{n-1} \IZ \subset [/mm] ... [mm] \subset p^{n-n} \IZ
[/mm]
Diese Kette würde so aussehen, weil die Úntermodule in einem hauptidealring gerade die Ideale sind.
Da [mm] p^{n-1} [/mm] nicht in [mm] p^{n} [/mm] liegt, ist das erzeugnis von [mm] p^{n} \IZ [/mm] < als das Erzeugnis von [mm] p^{n-1} \IZ. [/mm] da es sich um eine echte Inklusion handdelt werden die Zahlen immer Kleiner und die kette könnte fortgeführt werden bis [mm] p^{n-n} \IZ. [/mm] Dies wäre das Ende der kette, weil nur 1 [mm] \IZ [/mm] ganz [mm] \IZ [/mm] erzeugt.
Kann ich das so schreiben oder muss ich das noch an einer Stelle ausführlicher ausführen?
LG Schmetterfee
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Hallo nochmal
> und die kette könnte fortgeführt werden bis
> [mm]p^{n-n} \IZ.[/mm]
Kann ich das einfach so sagen oder muss ich das zeigen?..ich sitze immer noch an der Aufgabe und komme nicht richtig vorwärts...
Wäre über Hilfe sehr dankbar
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen es gäbe eine Unendliche Kette von Untermoduln,
> dann hätte diese die Form 0 [mm]\subset p^{n} \IZ \subset p^{n-1} \IZ \subset[/mm]
> ... [mm]\subset p^{n-n} \IZ[/mm]
Warum? Wieso? Das stimmt doch so nicht.
> Diese Kette würde so aussehen,
> weil die Úntermodule in einem hauptidealring gerade die
> Ideale sind.
Nein. Wieso sind es Potenzen?
> Da [mm]p^{n-1}[/mm] nicht in [mm]p^{n}[/mm] liegt,
Meinst du Module? Da stehen Zahlen ...
> ist das erzeugnis von
> [mm]p^{n} \IZ[/mm] < als das Erzeugnis von [mm]p^{n-1} \IZ.[/mm] da es sich
> um eine echte Inklusion handdelt werden die Zahlen immer
> Kleiner und die kette könnte fortgeführt werden bis
> [mm]p^{n-n} \IZ.[/mm] Dies wäre das Ende der kette, weil nur 1 [mm]\IZ[/mm]
> ganz [mm]\IZ[/mm] erzeugt.
Die Annahme war ja falsch - du musst beim ersten Modul mit einer bel. Zahl a mit [m]M_1=\IZ*a[/m] ist.
> Kann ich das so schreiben oder muss ich das noch an einer
> Stelle ausführlicher ausführen?
Richtiger wäre wohl besser.
SEcki
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Ein neuer versuch:
Angenommen es gäbe eine unendliche Kette von Untermoduln. Dann hätte sie die Form 0 [mm] \subset [/mm] a [mm] \IZ \subset [/mm] (a-1) [mm] \IZ \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] (a-a) [mm] \IZ [/mm] mit a [mm] \in \IN
[/mm]
Die Kette hätte diese Form, weil die Ideale des Ringes auch Untermodule sind.
Weil es sich um echte Inklusionen handelt müssen die zahlen a jeweils um mindestens 1 kleiner werden. Diese Kette würde also irgendwann an den Punkt (a-a) [mm] \IZ [/mm] ankommen und dies würde das Ende der Kette bilden. Somit gibt es keine unendliche Kette von Untermoduln.
geht das denn so?..oder is das immer noch ne falsche Richtung?
LG Schmetterfee
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> Ein neuer versuch:
> Angenommen es gäbe eine unendliche Kette von Untermoduln.
> Dann hätte sie die Form 0 [mm]\subset[/mm] a [mm]\IZ \subset[/mm] (a-1) [mm]\IZ \subset[/mm]
> ... [mm]\subset[/mm] (a-a) [mm]\IZ[/mm] mit a [mm]\in \IN[/mm]
> Die Kette hätte diese
> Form, weil die Ideale des Ringes auch Untermodule sind.
> Weil es sich um echte Inklusionen handelt müssen die
> zahlen a jeweils um mindestens 1 kleiner werden. Diese
> Kette würde also irgendwann an den Punkt (a-a) [mm]\IZ[/mm]
> ankommen und dies würde das Ende der Kette bilden. Somit
> gibt es keine unendliche Kette von Untermoduln.
>
reicht es überhaupt einfach zu sagen, dass die Zahlen nach rechts immer kleiner werden müssen, weil es eine echte Inklusion ist oder gilt es hier nochmehr zu zeigen?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 So 23.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ein neuer versuch:
> Angenommen es gäbe eine unendliche Kette von Untermoduln.
> Dann hätte sie die Form 0 [mm]\subset[/mm] a [mm]\IZ \subset[/mm] (a-1) [mm]\IZ \subset[/mm]
> ... [mm]\subset[/mm] (a-a) [mm]\IZ[/mm] mit a [mm]\in \IN[/mm]
Nein, das muss so nicht sein. Vielmehr dolgt aus [m]a*\IZ\subset b*\IZ[/m], dass [m]b|a,|a|>|b|[/m] (Mach es dir an Beispielen klar, dann mittels Primfaktorzerlegung bzw. Eigenschaften des euklidischen Rings)
> Die Kette hätte diese
> Form, weil die Ideale des Ringes auch Untermodule sind.
Genau die obige Form leider nicht.
> Weil es sich um echte Inklusionen handelt müssen die
> zahlen a jeweils um mindestens 1 kleiner werden.
Das hört sich gut an, hast du aber nicht ganz so geschrieben. Aber das ist die Idee!
> Diese
> Kette würde also irgendwann an den Punkt (a-a) [mm]\IZ[/mm]
> ankommen und dies würde das Ende der Kette bilden. Somit
> gibt es keine unendliche Kette von Untermoduln.
Jo.
SEcki
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> > Ein neuer versuch:
> > Angenommen es gäbe eine unendliche Kette von
> Untermoduln.
> > Dann hätte sie die Form 0 [mm]\subset[/mm] a [mm]\IZ \subset[/mm] (a-1) [mm]\IZ \subset[/mm]
> > ... [mm]\subset[/mm] (a-a) [mm]\IZ[/mm] mit a [mm]\in \IN[/mm]
>
> Nein, das muss so nicht sein. Vielmehr dolgt aus
> [m]a*\IZ\subset b*\IZ[/m], dass [m]b|a,|a|>|b|[/m] (Mach es dir an
> Beispielen klar, dann mittels Primfaktorzerlegung bzw.
> Eigenschaften des euklidischen Rings)
>
Ja klar stimmt...das oben von mir wäre ja nur der Spezialfall wenn es wirklich immer um eins kleiner werden würde...muss es ja aber nicht..
> > Diese
> > Kette würde also irgendwann an den Punkt (a-a) [mm]\IZ[/mm]
> > ankommen und dies würde das Ende der Kette bilden. Somit
> > gibt es keine unendliche Kette von Untermoduln.
>
> Jo.
>
Das ist ja klar aber wie bezeichne ich denn das Ende der Kette?...Kann ich dann 0 [mm] \subset a\IZ \subset [/mm] b [mm] \IZ \subset [/mm] ... [mm] \subset [/mm] (a-a) [mm] \IZ
[/mm]
schreiben oder wie nenn ich das Ende der Kette?...das is das Einzige was mir an dieser aufgabe noch nicht so ganz klar ist...kannst du mir da vielleicht auch noch helfen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 So 23.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ja klar stimmt...das oben von mir wäre ja nur der
> Spezialfall wenn es wirklich immer um eins kleiner werden
> würde...muss es ja aber nicht..
Wird es eigentlich nie, btw.
> Das ist ja klar aber wie bezeichne ich denn das Ende der
> Kette?...Kann ich dann 0 [mm]\subset a\IZ \subset[/mm] b [mm]\IZ \subset[/mm]
> ... [mm]\subset[/mm] (a-a) [mm]\IZ[/mm]
> schreiben oder wie nenn ich das Ende der Kette?
[m]\IZ[/m]???
>...das is
> das Einzige was mir an dieser aufgabe noch nicht so ganz
> klar ist...kannst du mir da vielleicht auch noch helfen?
Keine Ahnung, was dir nicht klar ist?
SEcki
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