Länge eines Weges berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | Berechne die Länge des Weges [mm]\gamma[/mm] gegeben durch die Parametrisierung
[mm]z:[0,\pi]\to\IC, t \mapsto \sin(t) * e^{it}[/mm] |
Hi,
ich bereite mich gerade auf eine Nachholprüfung vor und weiß nicht ob ich die oben stehende Aufgabe so richtig gelöst hab. Kann mir jemand sagen, ob das so okay ist, oder ob man das auch hätte einfacher lösen können?
um die Länge des Weges zu berechnen, gibt es ja folgende Formel:
[mm] l(\gamma) = \integral_{0}^{\pi}{|z'(t)| dt}[/mm]
Nach der Produktregel ergibt sich dann:
[mm] z'(t) = \cos(t)*e^{it} + \sin(t)*e^{it}*t
= e^{it} * (\cos(t) + sin(t)*t)[/mm]
Damit ist die Länge des Weges dann:
[mm] l(\gamma) = \integral_{0}^{\pi}{|e^{it}|*|\cos(t) + \sin(t)*t| dt}[/mm]
Da [mm] |e^{it}|[/mm] jedoch = 1 ist für alle t und [mm] \cos(t) + \sin(t)*t [/mm] reell und für alle t zwischen 0 und [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] > 0 ist und < 0 für alle t zwischen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\pi[/mm] ergibt sich:
[mm] l(\gamma) = \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{1*(\cos(t) + \sin(t)*t) dt} - \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{1*(\cos(t) + \sin(t)*t) dt}[/mm]
[mm] l(\gamma) = \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(\cos(t) + \sin(t)*t) dt} - \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(\cos(t) + \sin(t)*t) dt}[/mm]
[mm] l(\gamma) = \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos(t) dt} + \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(\sin(t)*t) dt} - (\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{\cos(t) dt} + \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}(\sin(t)*t) dt})[/mm]
[mm] l(\gamma) = [\sin(t)]_{0}^{\bruch{\pi}{2}} + \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(\sin(t)*t) dt} - ([\sin(t)]_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi} + \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}(\sin(t)*t) dt})[/mm]
Dann integrier ich noch partiell:
[mm] \integral{(\sin(t)*t) dt} = -\cos(t)*t - \integral{(-\cos(t)*1) dt}
= - \cos(t) * t + \sin(t)[/mm]
Dann folgt daraus:
[mm] l(\gamma) = [2*\sin(t) - \cos(t)*t]_{0}^{\bruch{\pi}{2}} - [2*\sin(t) - \cos(t)*t]_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}[/mm]
[mm] l(\gamma) = ((2*1 - 0*\bruch{\pi}{2}) - (2*0 - 1*0)) - ((2*1 - 0*\bruch{\pi}{2}) - (2*0 - (-1)*\pi))[/mm]
[mm] l(\gamma) = 2 - (2 - \pi)[/mm]
[mm] l(\gamma) = \pi[/mm]
Danke,
Jonas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich Jona,
an sich setzt Du die Rechnung schon richtig an:
Du hast eine Kurve die wie folgt parametrisiert ist
[mm]z(t)[/mm] für [mm]t\in [a,b][/mm]
und summierst alle Änderungen der Funktionswerte von z
über die Zeit t mit einem Integral auf:
[mm]
s = \integral_{t=a}^{b}\left|\bruch{dz}{dt}\right|\: dt
[/mm]
Soweit passt alles. Aber bereits bei der Ableitung hast Du einen
Flüchtigkeitsfehler drin:
[mm]
\bruch{d}{dt} \sin(t)\cdot e^{it}= \cos(t)\cdot e^{it}+
i \sin(t)\cdot e^{it}
[/mm]
Also Faktor i statt t.
Liebe Grüße
Markus-Hermann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Ach verflucht :)
okay, danke. werd es nochmal durchrechnen...
Danke,
Jonas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Hi,
also ich hab es jetzt nochmal durchgerechnet. Dabei hab ich folgende Lösung rausbekommen:
[mm]l(\gamma) = \integral_{a}^{b}{| z'(t) | dt}[/mm]
[mm]z'(t) = \cos(t)*e^{it} + \sin(t)*e^{it}*i[/mm]
[mm]z'(t) = e^{it} * (\cos(t) + i * \sin(t))[/mm]
[mm]l(\gamma) = \integral_{0}^{\pi}{|e^{it}|*|\cos(t) + i * \sin(t)| dt}[/mm]
[mm]l(\gamma) = \integral_{0}^{\pi}{|e^{it}|*|e^{it}| dt}[/mm]
[mm]l(\gamma) = \integral_{0}^{\pi}{1*1 dt}[/mm]
[mm]l(\gamma) = \integral_{0}^{\pi}{1 dt} = [t]_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi[/mm]
Ich hoff da stimmt jetzt alles.
Danke,
Jonas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 01.08.2007 | | Autor: | kochmn |
Also für mich sieht's auch gut aus!
Viele Grüße
Markus-Hermann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Okay, Danke 
Jonas
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