Lage Gerade-Gerade IV < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 17:31 Di 30.12.2008 | | Autor: | argl |
| Aufgabe |
Prüfen Sie welche Lage die Gerade [mm] $g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}$ [/mm] und die Gerade [mm] $h:\vec{x}= \vec{q} [/mm] + s * [mm] \vec{n}$ [/mm] zueinander haben !
a) [mm] $\vec{q} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3}$ $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{2,5 \\ -10 \\ 5}$
[/mm]
b) [mm] $\vec{q} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 12 \\ -5}$ $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{0,25 \\ -1 \\ 0,5}$
[/mm]
c) [mm] $\vec{q} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}$ $\vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 8 \\ -2}$
[/mm]
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[mm] a)g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2} h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3}+s\cdot\vektor{2.5 \\ 10 \\ 5}
[/mm]
a)1. g und h parallel ?
Ja !, denn es gilt [mm] r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}= \vektor{2.5 \\ 10 \\ 5} [/mm] für r=-2.5
a)2. g und h identisch ?
Nein !, denn für die Gleichung [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] gibt es kein r, das das LGS erfüllt !
[mm] b)g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2} h:\vec{x}=\vektor{-1 \\ 12 \\ -5}+s\cdot\vektor{0.25 \\ -1 \\ 0.5}
[/mm]
b)1. g und h parallel ?
Ja ! denn es gibt ein s=-4, das die Gleichung [mm] \vektor{-1 \\ 12 \\ -5}+s\cdot\vektor{0.25 \\ -1 \\ 0.5}=\vektor{-1 \\ 4 \\ -2} [/mm] erfüllt !
b)2. sind g und h identisch ?
Ja ! denn es gilt:
[mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}=\vektor{-1 \\ 12 \\ -5} [/mm] für r=3 und
[mm] \vektor{-1 \\ 12 \\ -5}+s\cdot\vektor{0.25 \\ -1 \\ 0.5}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] für s=12
[mm] c)g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2} h:\vec{x}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 8 \\ -2}
[/mm]
c)1. g und h parallel ?
Nein !, denn für die Gleichung [mm] r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}=\vektor{-1 \\ 8 \\ -2} [/mm] gibt es kein r, das das LGS erfüllt !
c)3. Gibt es einen Schnittpunkt der Geraden g und h ?
ich setze [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}+r\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+s\cdot\vektor{-1 \\ 8 \\ -2} [/mm] und schreibe das LGS:
I 2 - r = 1 -s
II 4r = 8s [mm] \Rightarrow [/mm] r=2s setze r in I und III ein
III 1 - 2r = -1 - 2s
I 2 - 2s = 1 -s [mm] \Rightarrow [/mm] s=1
III 1 - 4s = -1 - 2s [mm] \Rightarrow [/mm] s=1 [mm] \Rightarrow [/mm] r=2
es gibt also einen Schnittpunkt S. Ich setze s=1 in h und r=2 in g ein:
[mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+1\cdot\vektor{-1 \\ 8 \\ -2}=\vektor{0 \\ 8 \\ -3} [/mm] und
[mm] \overrightarrow{OS}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+2\cdot\vektor{-1 \\ 4 \\ -2}=\vektor{0 \\ 8 \\ -3} [/mm] stimmt überein, damit
haben wir als Schnittpunkt S (0|8|-3)
Schorsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 So 26.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schorsch!
Alles korrekt gelöst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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