Lage der Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Sa 25.04.2009 | | Autor: | luri |
| Aufgabe | Untersuche die gegenseitige Lage von G ung H
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Hallo Leute
ich schreibe bald ne mathe Ka und hab mir schon im forum mal angesehen was man zu Geraden und Ebenen findet.
das hab ich verstanden(glaubte ich ) wenn ich jetzt an meiner eigenen Aufgabe sitze dann komm ich icht weiter.
Untersuche die gegenseitige Lage von G und H
[mm] g:\vec{x}= \vektor{7 \\1\\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{ 2\\ -4\\ 6}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{8 \\-1\\ 3}+ [/mm] s [mm] \vektor{ -1\\ 2\\-3}
[/mm]
Jetzt ahb ichs mal gleichgesezt und gemerkt das ich damit nix anfangen kann.
da ich s oder r nie alleine habe.
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Sa 25.04.2009 | | Autor: | luri |
Ich habe nun
[mm] \vektor{7 \\1\\0} [/mm] mit [mm] \vektor{8 \\-1\\ 3}+s \vektor{-1\\ 2\\ 3-}
[/mm]
gleichgesetzt und es kommt für s immer1 raus sind die damit identisch?
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Hallo!
Grundsätzlich wäre das Vorgehen bei deinem Problem, zunächst zu überprüfen wie sich die Richtungsvektoren der beiden Geraden zueinander verhalten.
Da kannst du schon sehen: Die Richtungsvektoren sind zueinander linear abhängig, weil sich der erste Richtungsvektor [mm] \vektor{ 2\\ -4\\ 6} [/mm] als Vielfaches des zweiten [mm] \vektor{ -1\\ 2\\-3} [/mm] schreiben lässt:
[mm] $\vektor{ 2\\ -4\\ 6} [/mm] = [mm] (-2)*\vektor{ -1\\ 2\\-3}$
[/mm]
Damit weißt du schonmal, dass die Geraden parallel sind. Nun bleibt nur noch zu überprüfen, ob sie "nur" parallel sind oder sogar identisch. Und der richtige Ansatz, den du geliefert hast, wäre einfach mal zu überprüfen ob der Ortsvektor der einen Geraden, [mm] \vektor{7 \\1\\ 0}, [/mm] auf der anderen Geraden liegt.
Du hast herausgefunden, dass dies der Fall ist, denn ich finde einen Wert für den Parameter s der zweiten Geraden, sodass
[mm] $\vektor{7 \\1\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\-1\\ 3}+s*\vektor{ -1\\ 2\\-3}$
[/mm]
nämlich s = 1. Somit liegt der Ortsvektor der ersten Geraden auf der zweiten Geraden, sie haben also einen Punkt gemeinsam und weil sie parallel sind, haben sie somit alle Punkte gemeinsam und sind identisch.
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Wären die Geraden nicht parallel gewesen, hättest du sie gleichsetzen müssen:
[mm] $\vektor{7 \\1\\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{2\\-4\\6} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\-1\\ 3}+s*\vektor{ -1\\ 2\\-3}$
[/mm]
und das entstehende lineare Gleichungssystem nach r und s auflösen müssen. Wenn es eine eindeutige Lösung für r und s gegeben hätte, hätten sich die Geraden in einem Punkt geschnitten. Hätte es keine Lösung für r und s gegeben, wären sie windschief.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Sa 25.04.2009 | | Autor: | luri |
aLso könnte man allgemein sagen, dass
man bei solch einer Aufgabe als erstet testet ob die beiden parallel sind , indem man Hier r und s gleichsetzt und dann schaut ob immer die gleich zahl raus kommt z.b.
[mm] \vektor{2\\4-\\ 6}= \vektor{-1 \\2\\ 3}
[/mm]
hier kommt in jeder zeile 0,5 raus.
nun sehe ich das sie paralell sind.
um zu prüfen ob sie identisch sind setzte ich wie du schon gesagt hast
[mm] \vektor{7\\1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-1 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\2\\ 3}
[/mm]
und kann sehen das immer 1 heraus kommt
somit sind sie identisch und paralell
wenn sie jedoch von anfang an nicht paralell sind , dann sind sie auch nicht identisch--- sind sie dann windschief und haben keinen Schnittpunkt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Sa 25.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> aLso könnte man allgemein sagen, dass
>
> man bei solch einer Aufgabe als erstet testet ob die beiden
> parallel sind , indem man Hier r und s gleichsetzt und dann
> schaut ob immer die gleich zahl raus kommt z.b.
>
> [mm]\vektor{2\\4-\\ 6}= \vektor{-1 \\2\\ 3}[/mm]
>
> hier kommt in jeder zeile 0,5 raus.
>
> nun sehe ich das sie paralell sind.
> um zu prüfen ob sie identisch sind setzte ich wie du schon
> gesagt hast
>
> [mm]\vektor{7\\1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{8\\-1 \\ 3}[/mm] + [mm]\vektor{-1 \\2\\ 3}[/mm]
>
> und kann sehen das immer 1 heraus kommt
> somit sind sie identisch und paralell
Hier reicht zu sagen, dass sie identisch sind. Die Indentität schliesst die Parallelität mit ein.
>
> wenn sie jedoch von anfang an nicht paralell sind , dann
> sind sie auch nicht identisch--- sind sie dann windschief
> und haben keinen Schnittpunkt ?
Hier hast du dich ein wenig verrannt.
Zusammenfassung/Anleitung zur Lagebestimmung zweier Geraden g und h
*)Ist g Parallel zu h?
(Richtugnsvektoren sind parallel)
Wenn ja, können g und h zusätzlich noch identisch sein, dann muss der Stützpunkt von g noch auf h sein. Liegt der Stützpunkt von g nicht auf h, sind die Gearden "nur" parallel.
Wenn g nicht parallel zu h ist, bleiben noch zwei Möglichkeiten, g und h haben einen Schnittpunkt, oder sind Windschief.
Dazu setze dann mal g und h gleich, und löse das entstehnde LGS. Ist es eindeutig Lösbar, hast du einen Schnittpunkt, den du bekommst, wenn du den "Lösungsparameter" in die entsprechende Gerade einsetzt.
Ist das LGS nicht lösbar, sind g und h dann schlussendlich Winschief
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Sa 25.04.2009 | | Autor: | luri |
Nun ... den ersten Teil habe ich verstanden
aber mir fällt es schwer herraus zu finden ob sie nun Windschief oder Doch einen Schnittpunkt haben..
Z.B.
g:x [mm] =\vektor{1\\3 \\4} [/mm] + r [mm] \vektor{2\\0 \\ 5}
[/mm]
[mm] h:x=\vektor{3\\9\\ 9} [/mm] + s [mm] \vektor{2\\4 \\1}
[/mm]
hier sind sie nicht paralell.
setzte ich nun gleich :
1+2r=3+2s
3+0=3+4s
4+5r=9+s
heir kommt kein klares Ergebniss raus-- Also Windschief?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo luri!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig erkannt und gefolgert.
Gruß
Loddar
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