Lage der Geraden g < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] t*\vektor{4 \\ 2}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 5} [/mm] + [mm] t*\vektor{-2 \\ -1} [/mm] |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Ich habe g und h gleichgesetzt und folgende Ergebnisse erhalten:
Es gibt keinen gemeinsamen Schnittpunkt,
da t=- [mm] \bruch{19}{6} [/mm] und t`=- [mm] \bruch{7}{3} [/mm] ergeben haben.
In die Ausgangsgleichungen eingesetzt ergibt das dann
[mm] g=\vektor{- \bruch{13}{6} \\ - \bruch{13}{3}}
[/mm]
[mm] h=\vektor{- \bruch{35}{3} \\ - \bruch{13}{3}}
[/mm]
Was sagt das denn jetzt genau über die Lage der Geraden aus?
Entweder können sich g und h schneiden (ist hier wegen den unterschiedlichen Ergebnissen ja nicht der Fall), sie können parallel sein oder "windschief" (->was auch immer das bedeuten soll).
Liebe Grüße,
Sarah 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Sa 01.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du solltest bei verschiedenen geraden immer andere Parameter nehmen, also nicht 2mal t.
Nimm bei einer Geraden z.b. s und bei der anderen t! Damit müsstest du dann rechnen. Aber das ist hier nicht einmal nötig!
Wenn du dir die Richtungsvektoren der Geraden anguckst, kannst du sehen, dass sie kollienear sind, also Vielfache voneinander sind.
Damit können die Geraden parallel oder identisch sein.
Um jetzt zwischen den beiden Sachen entscheiden zu können, kannst du einen Punkt einer Geraden (vorzugsweise den Aufpunkt) in die andere Gerade einsetzen!
Liegt er drauf, sind die Geraden identisch, wenn nicht, dann parallel! Kannst du vielleicht mit einer zeichnung auch gut nachvollziehen, wenn du das nicht schon alles hattest :)
Und Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht schneiden und nicht parallel sind. Das geht jedoch nur im Raum und nicht in der Ebene!
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Hallo espritgirl!
> Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.
> Berechnen Sie gegebenfalls die Koordinaten des
> Schnittpunktes S
>
> [mm]g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2}[/mm] + [mm]t*\vektor{4 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 5}[/mm] + [mm]t*\vektor{-2 \\ -1}[/mm]
> Hallo
> Zusammen ,
>
> Ich habe g und h gleichgesetzt und folgende Ergebnisse
> erhalten:
>
> Es gibt keinen gemeinsamen Schnittpunkt,
>
> da t=- [mm]\bruch{19}{6}[/mm] und t'=- [mm]\bruch{7}{3}[/mm] ergeben haben.
>
> In die Ausgangsgleichungen eingesetzt ergibt das dann
>
> [mm]g=\vektor{- \bruch{13}{6} \\ - \bruch{13}{3}}[/mm]
>
> [mm]h=\vektor{- \bruch{35}{3} \\ - \bruch{13}{3}}[/mm]
>
>
> Was sagt das denn jetzt genau über die Lage der Geraden
> aus?
Abgesehen von dem Gleichsetzen habe ich keine Ahnung, was du hier gemacht hast. Wenn sich die Geraden nicht schneiden (und nicht identisch sind...), sollte ein Widerspruch beim lösen des Gleichungssystems rauskommen... Ich habe dabei z. B. 2=5,5 erhalten... Bei dir sehe ich aber keinen Widerspruch, denn t und t' müssen durchaus nicht gleich sein. Und wenn es keinen Schnittpunkt gibt, braucht man t auch nicht in die Gleichungen einzusetzen.
Wie teufel schon geschrieben hat, sind die beiden Geraden parallel. Wenn du dir die Richtungsvektoren noch nicht vorstellen kannst, dann erinnere dich mal an die 7. Klasse, wo man lineare Funktionen durchnimmt. Wenn du solch eine Gerade zeichnen möchtest, brauchst du einen Punkt, der auf der Geraden liegt und einen "Steigungsvektor". Der Punkt ist in obiger Darstellung der Stützvektor, also der Vektor ohne Parameter, und die Steigung gibt dir der Richtungsvektor an. Denn [mm] \vektor{4\\2} [/mm] ist im Prinzip nichts anderes als ein Pfeil, der von einem Punkt aus nach dorthin geht, wo du hinkommst, wenn du 4 Kästchen nach rechts und 2 nach oben gehst, also Steigung 0,5, das habe ich heute noch meinem Nachhilfeschüler erklärt.
Wenn du das Gleiche mit dem zweiten Richtungsvektor machst, stellst du fest, dass du dort dieselbe Steigung erhältst. Und wie sehen zwei Geraden aus, die dieselbe Steigung haben?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane ,
> Abgesehen von dem Gleichsetzen habe ich keine Ahnung, was
> du hier gemacht hast. Wenn sich die Geraden nicht schneiden
> (und nicht identisch sind...), sollte ein Widerspruch beim
> lösen des Gleichungssystems rauskommen...
Ich erklär es flott.
Ich habe mit Hilfe des Gauß-Verfahrens t und t` erhalten (@Teufel: wir sollten das zweite t als t` bezeichnen).
Dann habe ich t in die entsprechende Gleichung
[mm] g:\vec{x}=\vektor{1 \\ 2} [/mm] + [mm] t*\vektor{4 \\ 2} [/mm]
eingesetzt. t` habe ich in h eingesetzt, dabei kamen dann die zwei Koordinaten raus.
> Ich habe dabei z.
> B. 2=5,5 erhalten... Bei dir sehe ich aber keinen
> Widerspruch, denn t und t' müssen durchaus nicht gleich
> sein. Und wenn es keinen Schnittpunkt gibt, braucht man t
> auch nicht in die Gleichungen einzusetzen.
Hmmm... Aber ich hatte viele Aufgaben, in denen t und t` nicht identisch waren, beim Einsetzen in die entsprechenden Gleichungen allerdings zwei gleiche Koordinaten raus kamen und somit ein Schnittpunkt vorliegt.
> Wie teufel schon geschrieben hat, sind die beiden Geraden
> parallel. Wenn du dir die Richtungsvektoren noch nicht
> vorstellen kannst, dann erinnere dich mal an die 7. Klasse,
> wo man lineare Funktionen durchnimmt. Wenn du solch eine
> Gerade zeichnen möchtest, brauchst du einen Punkt, der auf
> der Geraden liegt und einen "Steigungsvektor". Der Punkt
> ist in obiger Darstellung der Stützvektor, also der Vektor
> ohne Parameter, und die Steigung gibt dir der
> Richtungsvektor an. Denn [mm]\vektor{4\\2}[/mm] ist im Prinzip
> nichts anderes als ein Pfeil, der von einem Punkt aus nach
> dorthin geht, wo du hinkommst, wenn du 4 Kästchen nach
> rechts und 2 nach oben gehst, also Steigung 0,5, das habe
> ich heute noch meinem Nachhilfeschüler erklärt.
> Wenn du das Gleiche mit dem zweiten Richtungsvektor
> machst, stellst du fest, dass du dort dieselbe Steigung
> erhältst. Und wie sehen zwei Geraden aus, die dieselbe
> Steigung haben?
Ich hab es nicht ausprobiert, aber da würde auch 0,5 raus kommen?!
Kann man das rechnerisch irgendwie bestimmen?
Liebe Grüße,
Sarah
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> Ich habe mit Hilfe des Gauß-Verfahrens t und t' erhalten
Hallo,
mach doch mal vor, wie Du das getan hast.
Dabei muß Dir nämlich ein Fehler unterlaufen sein - oder Du hast etwas übersehen.
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Mit leicht geübtem Blick sieht man ja gleich, daß die Richtungsvektoren parallel sind, so daß für die Lage der Geraden nur noch "parallel" oder "identisch " infrage kommt.
Genau ein gemeinsamer Punkt (also genau ein mögliches t und t') ist hier nicht möglich.
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Wie merkt man das nun rechentechnisch?
Wenn es keinen gemeinsamen Punkt gibt, erhältst Du bei Versuch das GS, welches Du durch Gleichsetzen gewinnst, zu lösen, eine Gleichung der Gestalt 0=7 (oder ähnlich Unlösbares). Mit keinem t der Welt kannst Du diese Gleichung lösen, also ist das System unlösbar.
Wenn die beiden Geraden identisch sind, erhältst Du eine Zeile 0=0 (oder etwas anderes, was immer stimmt, und was durch kein t der Welt verdorben werden kann) und eine Beziehung zwischen t und t', etwa t=7t' - 5.
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Wie gesagt: starte einen neuen Versuch, und poste ggf. die Rechnung mit.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
Ich bin gestern Abend noch einmal meine Rechnung durchgegangen, jedoch ohne einen Fehler zu finden.
Ich hab das Blatt mal eingescannt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße,
Sarah
Edit:
Tut mir Leid, dass das Bild so groß ist, aber ich bekomms nicht kleiner.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
das erklärt manches: Du rechnest ja eine andere Aufgabe als die, die Du gepostet hast!
Dein t und t' hast Du richtug ausgerechnet,
Beim Einsetzen von t hast Du Dich in der oberen Komponente verrechnet.
[mm] -\bruch{19}{6}*4 \not= -\bruch{19}{6}.
[/mm]
Der Punkt, den Du mithilfe von t' und h ausrechnest, stimmt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
> das erklärt manches: Du rechnest ja eine andere Aufgabe als
> die, die Du gepostet hast!
Wie meinst du das? Die von mir gepostete Aufgabenstellung ist die, die bei mir auf dem Arbeitsblatt steht...
> Beim Einsetzen von t hast Du Dich in der oberen Komponente
> verrechnet.
Super, dann guck ich mir das nocheinmal an.
Liebe Grüße,
Sarah
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> Wie meinst du das? Die von mir gepostete Aufgabenstellung
> ist die, die bei mir auf dem Arbeitsblatt steht...
Hallo,
was auf Deinem Arbeitsblatt steht, weiß ich natürlich nicht.
Fakt ist:
Du hast $ [mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 5} [/mm] $ + $ [mm] t\cdot{}\vektor{-2 \\ -1} [/mm] $ gepostet
und $ [mm] h:\vec{x}=\vektor{0 \\ 5} [/mm] $ + $ [mm] t\cdot{}\vektor{5 \\ 4} [/mm] $ gerechnet.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
Ich habe jetzt die richtige Aufgabenstellung bearbeitet.
Mit dem Gauß-Verfahren habe ich nun folgendes Ergebnis:
0=-7
=> kein Schnittpunkt
=> keine gleiche Gerade
=> Parallel?! Wenn ich jetzt etwas unwahres (0=-7), sagt dass dann aus, dass die Geraden parallel zueinander sind?
Liebe Grüße,
Sarah
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> Ich habe jetzt die richtige Aufgabenstellung bearbeitet.
>
> Mit dem Gauß-Verfahren habe ich nun folgendes Ergebnis:
>
> 0=-7
>
> => kein Schnittpunkt
Hallo,
genau, die beiden schneiden sich nicht.
Da Du in der Ebene (Vektoren mit 2 Komponenten) arbeitest, bedeutet dies sofort: die Geraden sind parallel und nicht identisch.
(Im Raum könnten sie auch windschief sein, das würde man anhand der Richtung sehen.)
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
> [mm]-\bruch{19}{6}*4 \not= -\bruch{19}{6}.[/mm]
Okay, ich habe für diesen Punkt dann [mm] \vektor{-\bruch{38}{3} \\ -\bruch{19}{3}}
[/mm]
Die anderen Koordinaten sind ja
[mm] \vektor{-\bruch{35}{3} \\ -\bruch{13}{3}}
[/mm]
Wenn ich das jetzt ausgerechnet habe, was sagt mir das über die Lage? Es sind weder Schnittpunkte, noch sind es die gleichen Geraden => also Parallel?!
Liebe Grüße,
Sarah O
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> Hallo Angela ,
>
> > [mm]-\bruch{19}{6}*4 \not= -\bruch{19}{6}.[/mm]
>
> Okay, ich habe für diesen Punkt dann [mm]\vektor{-\bruch{38}{3} \\ -\bruch{19}{3}}[/mm]
>
>
> Die anderen Koordinaten sind ja
>
> [mm]\vektor{-\bruch{35}{3} \\ -\bruch{13}{3}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Wenn ich das jetzt ausgerechnet habe, was sagt mir das
Hallo,
es sagt Dir, daß irgendetwas nicht stimmen kann...
Du hast ja jetzt genau zwei Schnittpunkte ausgerechnet.
Nimm Dir zwei Stricknadeln oder Schaschlikspieße.
Können die sich in zwei Punkten schneiden?
Nein, können sie nicht - jedenfalls nicht, solange die Nadeln nicht verborgen sind.
Du warst einfach schusselig.
Es ist
$ \vektor{1 \\ 2} $ - $ \bruch{19}{6\cdot{}\vektor{4 \\ 2} $ = \vektor{1- \bruch{38}{3}\\ 2-\bruch{19}{3}}=\vektor{... \\ ...}
Gruß v. Angela
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