Lage im Koodinatensystem < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In einer Aufgabe eines Mathebuches (Ehrenwirth Verlag) heißt es:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E:
[mm]\vektor{1 \\ 0\\2}+\alpha\vektor{1 \\ 0\\1}[/mm]
Meine Lösung lautet:
[mm]x_{1}+x_{3}-1=0[/mm]
Lösung laut Lösungsbuch:
[mm]x_{1}-x_{3}+1=0[/mm]
Mein Problem: Wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist der Richtungsvektor für die Lage des Vektors entscheidend. Der Richtungsvektor wird durch [mm] x_{1}= [/mm] 1 und [mm] x_{3}=1 [/mm] bestimmt. Wird in meiner Lösung eine der Variablen null gesetzt, so ergibt sich für die verbleibende Variabel immer die Lösung x=1. Dies ist aber nach dem Lösungsansatz aus dem Lösungsbuch nicht der Fall. Wo ist mein Denkfehler?
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Möglicherweise habe ich die Aufgabe des Lehrbuches nicht präzise genung wiedergegeben. Dafür möchte ich mich höflichst entschuldigen. Dies ist auch dem Umstand geschuldet, dass mein Matheunterricht ziemlich lange her ist. Bei der Geradengleichung handelt es sich um eine sogenannte Spurgerade. Es heisst wie folgt im Aufgabentext:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, für die folgendes gilt:
Die Ebene E ist parallel zur [mm] x_2 [/mm] Achse und hat die Spurgerade [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich die dieser Aufgabe vorangestellten Erläuterungen richtig verstanden habe, wird eine Ebene im Raum unter anderem wie folgt bestimmt:
a) drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,
b) eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt,
c) zwei echte parallele Geraden,
d) zwei sich schneidende Geraden.
Da E paralellel zur [mm] x_2 [/mm] Achse und zur Spurgerade ist, liegen somit zwei parallele Geraden vor, so dass eine Ebene hinreichend bestimmt sein müsste.
Die Frage in der Aufgabe des Lehrbuches war, wie die Ebenengleichung unter der Bedingung lautet, wenn die Ebene durch die [mm] x_2 [/mm] Achse und die Spurgerade bestimmt ist.
Meine Schwierigkeit war, diese Ebenengleichung zu bestimmen. Ich bin nach der Lektüre des Lehrbuches davon ausgegangen, dass die Lage der Ebene durch den Richtungsvektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] bestimmt wird.
Da [mm] x_{1} [/mm] =1 und [mm] x_{3} [/mm] =1 ist, bin ich auf folgende Koordinatengleichung gekommen: [mm] x_{1} +x_{3} [/mm] -1=0. Wird in dieser Lösung eine der beiden Variablen gleich null gesetzt, so ist die andere Variabel immer gleich eins. Dies entspricht auch den Werten des Richtungsvektors.
Die Lösung des Lehrbuches sieht aber wie folgt aus: [mm] x_{1} -x_{3} [/mm] +1=0. In der Musterlösung wird [mm] x_{1}= [/mm] -1 wenn [mm] x_{3} [/mm] gleich null gesetzt wird.
Meine Frage: wo liegt bei mir der Fehler (habe ich das Prinzip nicht verstanden) oder ist in der Musterlösung die Ebene gegenüber meiner Lösung nur verschoben.
Viele Grüße
Der Friesenprinz
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> Möglicherweise habe ich die Aufgabe des Lehrbuches nicht
> präzise genung wiedergegeben. Dafür möchte ich mich
> höflichst entschuldigen. Dies ist auch dem Umstand
> geschuldet, dass mein Matheunterricht ziemlich lange her
> ist. Bei der Geradengleichung handelt es sich um eine
> sogenannte Spurgerade. Es heisst wie folgt im
> Aufgabentext:
> Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, für die
> folgendes gilt:
>
> Die Ebene E ist parallel zur [mm]x_2[/mm] Achse und hat die
> Spurgerade [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Aha. Das ist natürlich mehr als wir vorher wussten.
Der Punkt (1/0/2) ist ein Punkt der Ebene, und ausser
dem ersten Richtungsvektor [mm] \pmat{1\\0\\1} [/mm] haben wir noch
den zweiten [mm] \pmat{0\\1\\0} [/mm] in Richtung der [mm] x_2 [/mm] -Achse .
Damit ist die Parametergleichung der Ebene:
E: [mm] $\pmat{x\\y\\z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{1\\0\\2}+\alpha*\pmat{1\\0\\1}+\beta*\pmat{0\\1\\0}$
[/mm]
Daraus kann man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] eliminieren und kommt
zur gewünschten Koordinatengleichung.
LG Al-Chw.
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Der Spurenvektor lautet:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Durch die Paralleliltät mit der [mm] x_{2} [/mm] Ebene ergibt sich folgender Richtungsvektor [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Damit ergibt sich die Ebenengleichung:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus wird folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
x= [mm] 1+1\alpha
[/mm]
y= [mm] 1\beta
[/mm]
z= [mm] 2+1\alpha
[/mm]
Wenn man jetzt x und z subtrahiert, dann kommt man meines Erachtens zu folgender Lösung:
x-z-1=0
Vorausgesetzt es hat sich kein Fehler eingeschlichen, ergeben sich für mich folgende 3 Fragen:
1) Die Musterlösung lautet wie folgt: x-z+1=0. Dann weichen die Lösungen hinsichtlich der Konstatne 1 ab.->worin besteht der Fehler ?
2) Warum lautet der Richtungsvektor der [mm] x_{2} [/mm] Ebene [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und beispielsweise nicht [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ?
3) Im Prinzip wird die Gleichung y= [mm] 1\beta [/mm] zur Aufstellung des linearen Gleichungssystemes doch garnicht benötigt?
Viele Grüße
Der Friesenprinz
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> Der Spurenvektor lautet:
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
nicht "der Spurvektor", sondern "die Gleichung der Spurgeraden".
Das ist die Schnittgerade von E mit der [mm] x_1x_3-Ebene.
[/mm]
>
> Durch die Paralleliltät mit der [mm]x_{2}[/mm] Ebene
Es gibt keine [mm] x_2-Ebene.
[/mm]
Im Aufgabentext heißt es ja auch "parallel zur [mm] x_2-Achse".
[/mm]
> ergibt sich
> folgender Richtungsvektor [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Ja, dieser Vektor weist in Richtung der [mm] x_2-Achse.
[/mm]
>
> Damit ergibt sich die Ebenengleichung:
>
> [mm]\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Genau.
>
> Daraus wird folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
>
> x= [mm]1+1\alpha[/mm]
> y= [mm]1\beta[/mm]
> z= [mm]2+1\alpha[/mm]
>
> Wenn man jetzt x und z subtrahiert, dann kommt man meines
> Erachtens zu folgender Lösung:
>
> x-z-1=0
Ich erhalte: [mm] x-y=(1+1\alpha)-(2+1\alpha) [/mm] <==> x-y=-1 <==> x-y+1=0, also das Ergebnis der Musterlösung.
>
> Vorausgesetzt es hat sich kein Fehler eingeschlichen,
> ergeben sich für mich folgende 3 Fragen:
> 1) Die Musterlösung lautet wie folgt: x-z+1=0. Dann
> weichen die Lösungen hinsichtlich der Konstatne 1
> ab.->worin besteht der Fehler ?
s.o..
> 2) Warum lautet der Richtungsvektor der [mm]x_{2}[/mm] Ebene
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] und
> beispielsweise nicht [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> ?
Du hättest als Richtungvektor der [mm] x_2-Achse [/mm] (!) ebenso den Vektor [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] oder [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -123\\ 0 \end{pmatrix} [/mm] nehmen können.
> 3) Im Prinzip wird die Gleichung y= [mm]1\beta[/mm] zur
> Aufstellung des linearen Gleichungssystemes doch garnicht
> benötigt?
Richtig. Das liegt daran, daß die Ebene parallel zur [mm] x_2-Achse [/mm] verläuft.
Sobald die 1. und 2. Koordinate der Ebenenpunkte der Gleichung der Spurgeraden in der [mm] x_1x_3-Ebene [/mm] genügt, liegen die Punkte in der Ebene, egl wie die mittlere Koordinate ist.
(Nimm Dir einen Pappkarton, zeichne die Spurgerade ein und halte ein Blatt Papier (=E) so hin, daß es die Kartonwand in der Spurgerade schneidet und parallel zur [mm] x_2-Achse [/mm] ist.)
Wenn in der Ebenengleichung eine Variable fehlt, sagt einem das immer etwas über Parallelität.
Gruß v. Angela
>
> Viele Grüße
> Der Friesenprinz
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Vielen Dank für die ausführliche Beantwortung meiner Fragen. Damit sind meine Probleme bezüglich der Aufgabenstellung hinreichend beantwortet.
Der Friesenprinz
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Liebe Forenmitglieder: diesen Aufgabenteil habe ich ich auf keinem anderen Forum gestellt.
In einer Aufgabe heißt es
Bestimme eine Koordinatengleichung der E:
E ist parallel zur [mm] x_{1}x_{2} [/mm] Ebene und geht durch den Punkt (1/2/-3).
Mein Lösungsansatz:
Die Koordinatengleichung wird zunächst über eine aufzustellenden Parametergleichung ermittelt.
Wenn die gesuchte Ebene parallel zur [mm] x_{1}x_{2} [/mm] Ebene ist, bedeutet dies für die Parametergleichung, dass in beiden Richtungsvektoren die [mm] x_{3} [/mm] Koordinate gleich null ist, so dass beispielsweise folgender Vektor denkbar ist:
Vektor= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \beta \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Da in beiden Richtungsvektoren die [mm] x_{3} [/mm] Koordinate gleich null ist, ist gewährleistet, dass nicht ein Raum, sondern nur eine Fläche aufgespannt wird.
Im zweiten Lösungsschritt werden drei Gleichungssysteme aufgestellt:
I) [mm] x_{1}= [/mm] 1+ [mm] 6\alpha-1\beta
[/mm]
II) [mm] x_{2}= [/mm] 2 [mm] -1\alpha- 4\beta
[/mm]
III [mm] )x_{3}=-3
[/mm]
Löst man [mm] x_{3} [/mm] nach null auf, so erhält man [mm] x_{3}+ [/mm] 3=0 und damit die gesuchte Koordinatengleichung.
Meine Frage:
Spielen die Gleichungssyteme II und III keine Rolle oder ist der Lösungsansatz komplett falsch?
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> Bestimme eine Koordinatengleichung der E:
> E ist parallel zur [mm]x_{1}x_{2}[/mm] Ebene und geht durch den
> Punkt (1/2/-3).
>
> Mein Lösungsansatz:
> Die Koordinatengleichung wird zunächst über eine
> aufzustellenden Parametergleichung ermittelt.
> Wenn die gesuchte Ebene parallel zur [mm]x_{1}x_{2}[/mm] Ebene ist,
> bedeutet dies für die Parametergleichung, dass in beiden
> Richtungsvektoren die [mm]x_{3}[/mm] Koordinate gleich null ist, so
> dass beispielsweise folgender Vektor denkbar ist:
>
> Vektor= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo Jörn,
es geht viel, viel einfacher !
Da die Ebene E parallel zur [mm] x_1-x_2-Ebene [/mm] ist, haben
alle ihre Punkte den gleichen konstanten [mm] x_3-Wert.
[/mm]
Dies muss auch der [mm] x_3-Wert [/mm] des gegebenen Punktes
sein, also [mm] x_3=-3. [/mm] Und dies ist auch schon die fixfertige
Ebenengleichung:
$E:\ \ [mm] x_3\ [/mm] =\ -3$
LG Al-Chw.
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Vielen Dank, damit ist meine Frage geklärt.
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Ich habe diese Aufgabe weder in diesem noch in einem anderen Forum gestellt.
Es geht in dieser Aufgabe, wie in Aufgabe 1 und 2 auch, um die Aufstellung einer Koordinatengleichung:
Bestimme die Koordinatengleichung der Ebene E:
E ist parallel zur [mm] x_{2} [/mm] Achse und geht durch die Punkte P (1/0/0) und Q (0/0/1)
Mein Lösungsansatz:
Wenn E parallel zur [mm] x_{2} [/mm] Achse geht, bedeutet so bedeutet dies für die Koordianaten des Richtungsvektors, dass die [mm] x_{1} [/mm] Achse und [mm] x_{3} [/mm] Achse gleich null gesetzt werden müssen, so dass sich beispielsweisen folgender Richtungsvektor ergibt:
[mm] \alpha \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Aus den Punkten P und Q ergibt sich ein weiterer Vektor,der als Richtungsvektor dient:
[mm] \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Damit erhält man folgende Parametergleichung:
[mm] Vektor=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}-1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Die Parametergleichung wird in Gleichungssysstem überführt:
I) [mm] x_{1}= [/mm] 1- [mm] 1\beta [/mm]
II) [mm] x_{2}= 1\alpha [/mm]
III) [mm] x_{3}= 1\beta [/mm]
III)->I)
[mm] x_{1}= [/mm] 1- [mm] x_{3}
[/mm]
LSG: [mm] x_{1}+ x_{3}-1=0
[/mm]
Frage: Ist der Lösungsansatz so richtig?
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> Frage: Ist der Lösungsansatz so richtig?
Hallo,
ja, alles richtig.
Gruß v. Angela
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Diese Frage habe ich weder in diesem noch in einem anderen Forum gestellt. Inhaltlich passt sie zu den ersten drei von mir gestellten Fragen:
In einer Aufgabe heißt es wie folgt:
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene:
E ist senkrecht zur [mm] x_{2}x_{3} [/mm] Ebene und geht durch O und den P (0/1/1).
Zunächst besteht mein Problem darin, dass für O garkeine Koordinaten angegeben sind. Ich dachte zunächst, dass sei der Ursprung;aber aufgrund der Schreibweise ist dies wohl wie ein P Punkt in der [mm] x_{2}x_{3} [/mm] Ebene.
Wenn E senkrecht auf der [mm] x_{2}x_{3} [/mm] Ebene steht, bedeutet dies, dass die Werte der [mm] x_{1} [/mm] Achse konstant sind und die Werte der [mm] x_{2} [/mm] Achse und [mm] x_{3} [/mm] Achse variabel ?
Wenn dies so sein sollte, würden sich Werte der [mm] x_{2} [/mm] Achse und der [mm] x_{3} [/mm] Achse proportional zueinander verhalten:
[mm] x_{2}=x_{3} [/mm] -> [mm] x_{2}-x_{3}=0
[/mm]
Am liebsten wäre mir natürlich eine Lösung, bei der sich eine Paramtergleichung aufstellen ließe, die anschließend in ein lineares Gleichunssytem umgewandelt würde und aus der sich durch das Einsetzverfahren eine Koordinatengleichung ergäbe.
Der Friesenprinz
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> Diese Frage habe ich weder in diesem noch in einem anderen
> Forum gestellt. Inhaltlich passt sie zu den ersten drei von
> mir gestellten Fragen:
>
> In einer Aufgabe heißt es wie folgt:
> Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene:
> E ist senkrecht zur [mm]x_{2}x_{3}[/mm] Ebene
(.... dann ist sie automatisch parallel zur [mm] x_1-Achse [/mm] !)
> und geht durch O und den P (0/1/1).
>
> Zunächst besteht mein Problem darin, dass für O garkeine
> Koordinaten angegeben sind. Ich dachte zunächst, das sei
> der Ursprung;
das ist bestimmt auch so gemeint !
> aber aufgrund der Schreibweise ist dies wohl
> wie ein P Punkt in der [mm]x_{2}x_{3}[/mm] Ebene.
>
> Wenn E senkrecht auf der [mm]x_{2}x_{3}[/mm] Ebene steht, bedeutet
> dies, dass die Werte der [mm]x_{1}[/mm] Achse konstant sind und die
> Werte der [mm]x_{2}[/mm] Achse und [mm]x_{3}[/mm] Achse variabel ?
siehe die obige Bemerkung in Klammern !
> Wenn dies so sein sollte, würden sich Werte der [mm]x_{2}[/mm]
> Achse und der [mm]x_{3}[/mm] Achse proportional zueinander
> verhalten:
>
> [mm]x_{2}=x_{3}[/mm] -> [mm]x_{2}-x_{3}=0[/mm]
>
> Am liebsten wäre mir natürlich eine Lösung, bei der sich
> eine Paramtergleichung aufstellen ließe, die anschließend
> in ein lineares Gleichunssytem umgewandelt würde und aus
> der sich durch das Einsetzverfahren eine
> Koordinatengleichung ergäbe.
Kannst du auch haben ! Nimm als Spannvektoren den Vektor
[mm] \overrightarrow{OP} [/mm] und den Vektor [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] in Richtung der [mm] x_1-Achse [/mm] !
> Der Friesenprinz
LG Al-Chw.
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Vielen Dank für die Beantwortung der Frage. Damit ist alles geklärt. Aufgrund berufsbedingter Verhinderung bin ich jetzt erst dazu gekommen, mir die Antwort anzusehen.
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
