Lage zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 So 11.06.2006 | | Autor: | Icyangel |
| Aufgabe | Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E und E2 an Hand der Spannvektoren.
E: [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
E2 [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 1} [/mm] + r* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + t* [mm] \vektor{2 \\ 8 \\ 3} [/mm] |
Hallo!
Also, wenn ich jetzt die Lage der beiden Ebenen berechnen möchte, ohne sie gleichzusetzen, muss ich schauen, ob die beiden Spannvektoren von E linear ab- oder unabhängig zu einem Spannvektor der Ebene2 ist.
Also das heisst:
r1 * [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1} [/mm] + r2 * [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] + r3 * [mm] \vektor{2 \\ 8 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ich bekomme für dieses Gleichungssystem für alle r = 0 raus. Im Lösungsbuch steht jedoch, dass E = E2 und das heisst ja dann, dass die Spannvektoren von E mit den Spannvektoren von E2 linear abhängig sein müssten, also r1 ist ungleich 0 , r2 ist ungleich 0 usw.
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?
Vielen Dank schonmal!
Lg
verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 11.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Verena,
> Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E und E2 an
> Hand der Spannvektoren.
>
> E: [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm] + t
> [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> E2 [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 1}[/mm] + r*
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + t* [mm]\vektor{2 \\ 8 \\ 3}[/mm]
> Hallo!
>
> Also, wenn ich jetzt die Lage der beiden Ebenen berechnen
> möchte, ohne sie gleichzusetzen, muss ich schauen, ob die
> beiden Spannvektoren von E linear ab- oder unabhängig zu
> einem Spannvektor der Ebene2 ist.
>
> Also das heisst:
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> r1 * [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm] + r2 * [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm] + r3
> * [mm]\vektor{2 \\ 8 \\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Ich bekomme für dieses Gleichungssystem für alle r = 0
> raus. Im Lösungsbuch steht jedoch, dass E = E2 und das
> heisst ja dann, dass die Spannvektoren von E mit den
> Spannvektoren von E2 linear abhängig sein müssten, also r1
> ist ungleich 0 , r2 ist ungleich 0 usw.
>
> Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler ist?
Wo dein Fehler steckt, kann ich dir nicht sagen, da du deine Rechnung nicht angegeben hast. Der Ansatz ist schon mal richtig. Das Ergebnis im Lösungsbuch auch.
Du hast das folgende Gleichungssystem:
$ [mm] r_1 [/mm] + 2 [mm] r_3 [/mm] = 0 $
$ 3 [mm] r_1 [/mm] + 2 [mm] r_2 [/mm] + 8 [mm] r_3 [/mm] = 0 $
$ [mm] r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] + 3 [mm] r_3 [/mm] = 0 $
Wenn du jetzt jetzt Gleichung 3 mit 2 multiplizierst und das Ergebnis von Gl. 2 subtrahierst, erhälst du Gl. 1. Damit gibt es unendlich viele Lösungen, d.h. die Vektoren sind lin. abhängig.
Gruß
Sigrid
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> Vielen Dank schonmal!
>
> Lg
>
> verena
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