Lage zweier Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Jule_ |
| Aufgabe | Die gegenseitige Lage zweier Ebenen kann man an den jeweiligen Stütz - und Spannvektoren erkennen. Erläutern Sie die Lage von:
a) [mm] E_1: \vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3}+ r*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+ s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_2: \vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+ r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{1 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
b) [mm] E_1: \vec{x}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}+ r*\vektor{1 \\ 3 \\ 1}+ s*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] E_2: \vec{x}=\vektor{1 \\ 4 \\ 1}+ r*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+ s*\vektor{2 \\ 8 \\ 3}
[/mm]
c) [mm] E_1: \vec{x}=\vektor{5 \\ 0 \\ 5}+ r*\vektor{1 \\ 2 \\ 4}+ s*\vektor{3 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] E_2: \vec{x}=\vektor{4 \\ -2 \\ 1}+ r*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+ s*\vektor{6 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
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Ich habe keinen Schimmer wie ich die Lage an den Stütz- und Spannvektoren erkennen kann.
Ich weiß, dass:
[mm] \vec{u_1}, \vec{v_1}, \vec{u_2} [/mm] oder/ und [mm] \vec{u_1}, \vec{v_1}, \vec{v_2}
[/mm]
linear unabhängig sein müssen, wenn sich die Ebenen schneiden und linear abhängig, wenn die Ebenen parallen oder sogar identisch sind, aber wie seh ich das an den obigen Aufgaben bzw. welche Berechnungen muss ich durchführen?
Kann mir vielleicht jemand an einer Aufgabe die Vorgehensweise erläutern?
Wie wäre es wenigstens mit einem Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Mi 04.06.2008 | | Autor: | Jule_ |
Schade, dass mir niemand zumindest einen Tipp gehen kann wie an die Sacher rangehe.
Ich könnte die Ebenengleichungen auch gleich setzen um die Lage zu bestimmen, oder. Wäre dann zwar nicht wie gefordert über die Stütz- und Spannvektoren , aber immerhin.
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> Die gegenseitige Lage zweier Ebenen kann man an den
> jeweiligen Stütz - und Spannvektoren erkennen. Erläutern
> Sie die Lage von:
>
> a) [mm]E_1: \vec{x}=\vektor{2 \\ 5 \\ 3}+ r*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+ s*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]E_2: \vec{x}=\vektor{4 \\ 0 \\ 0}+ r*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+ s*\vektor{1 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> b) [mm]E_1: \vec{x}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0}+ r*\vektor{1 \\ 3 \\ 1}+ s*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]E_2: \vec{x}=\vektor{1 \\ 4 \\ 1}+ r*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+ s*\vektor{2 \\ 8 \\ 3}[/mm]
>
> c) [mm]E_1: \vec{x}=\vektor{5 \\ 0 \\ 5}+ r*\vektor{1 \\ 2 \\ 4}+ s*\vektor{3 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]E_2: \vec{x}=\vektor{4 \\ -2 \\ 1}+ r*\vektor{1 \\ 1 \\ -1}+ s*\vektor{6 \\ -1 \\ -2}[/mm]
>
> Ich habe keinen Schimmer wie ich die Lage an den Stütz- und
> Spannvektoren erkennen kann.
>
> Wie wäre es wenigstens mit einem Tipp?
>
Hallo Jule,
ich sehe so wie du nicht recht ein, wie man unmittelbar an
den jeweiligen Stütz- und Spannvektoren - also ohne weitere
Berechnungen - sehen können soll, wie die Ebenen zuein-
ander liegen.
Ich würde dir aber empfehlen, aus den beiden Spannvektoren
einer Ebene mittels Vektorprodukt einen Normalenvektor der
Ebene zu berechnen.
Dann ist ja der Winkel zwischen den Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] gleich
dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren [mm] \vec n_1 [/mm] und [mm] \vec n_2.
[/mm]
Gruß
al-Chwarizmi
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