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Forum "Uni-Stochastik" - Lageinvarianz
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Lageinvarianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mi 24.02.2010
Autor: hagen85

Hallo,

ich soll die Skaleninvarianz der Schiefe nachweisen. Die Schiefe ist ja definiert als: [mm] \alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}. [/mm]
Bei Skaleninvarianz gilt: Maßzahl M(X)=M(d*X), was also für [mm] \alpha [/mm] bedeuten [mm] wuerde:\alpha(dx)=\bruch{E[(dX-\mu)^3]}{(E[(dX-\mu)^2])^{3/2}}=\alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}. [/mm]
Soweit zur Idee, nun die Frage sieht jemand einen eleganten Weg das Ganze zu lösen ohne die Potenzen der Binome auflösen zu müssen? Denn das scheint mir ein bißchen umständlich.

VG Hagen

PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lageinvarianz: Linearität von E und Var
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Mi 24.02.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ich soll die Skaleninvarianz der Schiefe nachweisen. Die
> Schiefe ist ja definiert als:
> [mm]\alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}.[/mm]
>  Bei Skaleninvarianz gilt: Maßzahl M(X)=M(d*X), was also
> für [mm]\alpha[/mm] bedeuten
> [mm]wuerde:\alpha(dx)=\bruch{E[(dX-\mu)^3]}{(E[(dX-\mu)^2])^{3/2}}=\alpha(x)=\bruch{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}.[/mm]
>  Soweit zur Idee, nun die Frage sieht jemand einen
> eleganten Weg das Ganze zu lösen ohne die Potenzen der
> Binome auflösen zu müssen? Denn das scheint mir ein
> bißchen umständlich.
>  
> VG Hagen



Hallo Hagen,

die angegebene Formel stimmt so nicht ganz. Sie sollte
so lauten:

     [mm] $\alpha(d*X)\ [/mm] =\ [mm] \bruch{E[(d*X-E(d*X))^3]}{\left(Var(d*X)\right)^{3/2}}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{E[(d*X-E(d*X))^3]}{\left(E(d*X-E(d*X))^2\right)^{3/2}}$ [/mm]

Jetzt geht's darum, zu zeigen, dass man diese Formel so
vereinfachen kann, dass im Endeffekt einfach alle "d" darin
verschwinden (bzw. durch "1" ersetzt werden können), sich
aber darüber hinaus gar nichts an der Formel ändert.

Für diese Vereinfachung kann man heranziehen:

1.)  die Linearität des Erwartungswertes:     $\ E(d*X)\ =\ d*E(X)$

1.)  die Linearität der Varianz:           $\ Var(d*X)\ =\ d*Var(X)$


LG      Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Lageinvarianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:54 Mi 24.02.2010
Autor: hagen85

Vielen Dank, manchmal ist es so einfach. :-)

Vg Hagen

Bezug
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